Objectif Général 6 — Transformations et géométrie de l'espace. Droites et plans de l'espace, positions relatives, solides usuels et leurs éléments caractéristiques (aires, volumes).
Dans l'espace, une droite est déterminée par deux points distincts, et un plan est déterminé par trois points non alignés (ou par une droite et un point extérieur, ou par deux droites sécantes, ou par deux droites strictement parallèles).
Deux droites de l'espace sont dites coplanaires lorsqu'il existe un plan qui les contient toutes les deux.
• Sécantes : coplanaires, elles ont exactement un point commun.
• Parallèles : coplanaires et sans point commun (strictement parallèles), ou confondues (même droite).
• Non coplanaires (ou gauches) : elles n'appartiennent à aucun plan commun ; elles n'ont donc aucun point commun et ne sont pas parallèles.
Soit ABCDEFGH un cube, ABCD la face inférieure et EFGH la face supérieure (E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H au-dessus de D).
(AB) et (BC) sont sécantes en B (toutes deux dans la face ABCD). (AB) et (DC) sont strictement parallèles (côtés opposés du carré ABCD). (AB) et (CG) sont non coplanaires : (AB) est dans la face inférieure tandis que [CG] est une arête verticale ; aucun plan ne peut contenir ces deux droites à la fois.
• La droite est incluse dans le plan : tous ses points appartiennent au plan.
• La droite et le plan sont sécants : ils ont exactement un point commun.
• La droite est strictement parallèle au plan : ils n'ont aucun point commun.
• Les deux plans sont sécants : leur intersection est une droite.
• Les deux plans sont strictement parallèles (aucun point commun), ou confondus s'ils sont identiques.
Si deux plans sont parallèles à un même troisième plan, alors ils sont parallèles entre eux.
Si une droite est parallèle à deux plans sécants, elle est parallèle à leur droite d'intersection.
Le plan (ABC) [face inférieure ABCD] et le plan (EFG) [face supérieure EFGH] sont strictement parallèles. Le plan (ABF) [face latérale ABFE] et le plan (DCG) [face latérale DCGH] sont également strictement parallèles. En revanche, (ABC) et (ABF) sont sécants suivant la droite (AB).
Solide à six faces rectangulaires, de dimensions L (longueur), l (largeur), h (hauteur).
Volume : V = L × l × h
Aire totale : A = 2(Ll + Lh + lh)
Diagonale : d = √(L² + l² + h²)
Cas particulier du cube d'arête a : V = a³, A = 6a², diagonale d = a√3.
Solide formé de deux bases polygonales superposables et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases. La hauteur h est la distance entre les deux bases.
Volume : V = B × h
Aire latérale : Alat = P × h
Aire totale : A = 2B + Alat
Solide formé d'une base polygonale et d'un sommet S non situé dans le plan de la base, relié à chaque sommet de la base. La hauteur h est la distance du sommet S au plan de la base.
Volume : V = (1/3) × B × h
Pavé droit L = 4 cm, l = 3 cm, h = 2 cm : V = 4×3×2 = 24 cm³, A = 2(12+8+6) = 2×26 = 52 cm².
Engendré par la rotation d'un rectangle autour d'un côté. Rayon r, hauteur h.
Volume : V = π r² h
Aire latérale : Alat = 2π r h
Aire totale : A = 2π r (r + h)
Engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un côté de l'angle droit. Rayon r, hauteur h, génératrice (apothème) a = √(r² + h²).
Volume : V = (1/3) π r² h
Aire latérale : Alat = π r a
Aire totale : A = π r (r + a)
Ensemble des points de l'espace situés à une distance r (le rayon) d'un point fixe O (le centre).
Volume : V = (4/3) π r³
Aire : A = 4π r²
Cylindre r = 3 cm, h = 5 cm (π ≈ 3,14) : V = π×9×5 = 45π ≈ 141,3 cm³. Alat = 2π×3×5 = 30π ≈ 94,2 cm². A = 2π×3×(3+5) = 48π ≈ 150,72 cm².
On considère un cube ABCDEFGH avec ABCD la face inférieure et EFGH la face supérieure (E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H au-dessus de D). Préciser la position relative de chacun des couples suivants :
Un pavé droit a pour dimensions L = 5 cm, l = 4 cm et h = 3 cm. Calculer son volume, son aire totale et la longueur de sa diagonale (arrondir au centième).
Volume : V = L×l×h = 5×4×3 = 60 cm³
Aire totale : A = 2(Ll+Lh+lh) = 2(5×4 + 5×3 + 4×3) = 2(20+15+12) = 2×47 = 94 cm²
Diagonale : d = √(L²+l²+h²) = √(25+16+9) = √50 = 5√2 ≈ 7,07 cm
Un cylindre de révolution a un rayon r = 3 cm et une hauteur h = 10 cm. Calculer son volume, son aire latérale et son aire totale (on prendra π ≈ 3,14, résultats arrondis au centième).
Volume : V = πr²h = π×9×10 = 90π ≈ 90×3,14 = 282,6 cm³
Aire latérale : Alat = 2πrh = 2π×3×10 = 60π ≈ 60×3,14 = 188,4 cm²
Aire totale : A = 2πr(r+h) = 2π×3×13 = 78π ≈ 78×3,14 = 244,92 cm²
SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD de côté c = 6 cm, de hauteur SH = 8 cm (H étant le centre du carré ABCD).
Un silo à grains est formé d'un cylindre de révolution de rayon r = 2 m et de hauteur h = 5 m, surmonté d'une demi-sphère de même rayon r = 2 m. On prendra π ≈ 3,14.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Deux droites de l'espace sans point commun et non parallèles sont dites :
Deux plans distincts de l'espace qui ne sont pas parallèles sont nécessairement :
Une droite (d) et un plan (P) qui n'ont aucun point commun sont dits :
Le volume d'un pavé droit de dimensions L, l, h est donné par :
L'aire latérale d'un prisme droit de périmètre de base P et de hauteur h est :
Le volume d'une pyramide de base d'aire B et de hauteur h est :
L'aire latérale d'un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h est :
Le volume d'un cône de révolution de rayon r et de hauteur h est :
L'aire d'une sphère de rayon r est :
Pour un cube d'arête a, la longueur de la grande diagonale (reliant deux sommets opposés) est :
