Objectif Général 6 — Transformations et géométrie de l'espace. Composées de translations, d'homothéties et de rotations ; projections orthogonale et selon une direction.
Translation de vecteur u→ : à tout point M associe le point M' tel que MM'→ = u→.
Homothétie de centre Ω et de rapport k (k ≠ 0) : à tout point M associe le point M' tel que ΩM'→ = k·ΩM→.
Rotation de centre Ω et d'angle θ : à tout point M associe le point M' tel que ΩM = ΩM' et l'angle orienté (ΩM→, ΩM'→) = θ.
La translation et la rotation sont des isométries : elles conservent les longueurs et les angles.
L'homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k| et les aires par k². Si k = 1, c'est l'identité ; si k = −1, c'est la symétrie centrale de centre Ω.
Ω(1 ; 2), k = 3, M(4 ; 6). ΩM→ = (4−1 ; 6−2) = (3 ; 4). ΩM'→ = 3×(3 ; 4) = (9 ; 12). Donc M' = (1+9 ; 2+12) = (10 ; 14).
La composée f∘g d'une transformation g suivie d'une transformation f est l'application qui, à un point M, associe f(g(M)) : on applique d'abord g, puis f.
• La composée de deux translations de vecteurs u→ et v→ est la translation de vecteur u→ + v→.
• La composée de deux homothéties de même centre Ω, de rapports k₁ puis k₂, est l'homothétie de centre Ω et de rapport k₁×k₂ (si k₁k₂ ≠ 1), ou l'identité (si k₁k₂ = 1).
• La composée de deux rotations de même centre Ω, d'angles θ₁ puis θ₂, est la rotation de centre Ω et d'angle θ₁ + θ₂ (modulo 360°).
Deux homothéties de même centre Ω, de rapports 2 puis 0,5 : k₁k₂ = 2 × 0,5 = 1, donc la composée est l'identité.
Deux rotations de même centre Ω, d'angles 50° puis 130° : la composée est la rotation de centre Ω et d'angle 50° + 130° = 180° (symétrie centrale de centre Ω).
La projection orthogonale sur une droite (d) associe à tout point M le point M', intersection de (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par M.
La projection sur (d) selon une direction Δ (Δ non parallèle à (d)) associe à tout point M le point M', intersection de (d) et de la droite passant par M et de direction Δ. La projection orthogonale est le cas particulier où Δ est perpendiculaire à (d).
Tout point situé sur (d) est invariant par une projection sur (d) : son image est lui-même. Une projection n'est en général pas une transformation bijective (plusieurs points peuvent avoir la même image).
Soit (d) l'axe des abscisses. La projection orthogonale de M(3 ; 5) sur (d) est M'(3 ; 0).
La projection de M(2 ; 4) sur (d) selon la direction Δ(1 ; 1) : la droite passant par M de direction (1 ; 1) a pour équation y = x + 2. Elle coupe (d) (y = 0) en x = −2 : l'image est M'(−2 ; 0).
Dans un repère, on donne Ω(0 ; 0) et M(3 ; −1). Déterminer l'image M' de M par l'homothétie de centre Ω et de rapport k = 2.
ΩM→ = (3 ; −1). Comme ΩM'→ = k·ΩM→ = 2×(3 ; −1) = (6 ; −2), et Ω est l'origine :
M' = (6 ; −2)
On donne les vecteurs u→(2 ; 5) et v→(−3 ; 1). On applique à M(1 ; 1) la translation de vecteur u→ puis la translation de vecteur v→. Quel est le vecteur de la translation composée t₂∘t₁, et quelle est l'image finale de M ?
Le vecteur de la composée est u→ + v→ = (2 + (−3) ; 5 + 1) = (−1 ; 6).
Image de M : M' = M + (−1 ; 6) = (1 − 1 ; 1 + 6) = (0 ; 7).
r₁ est la rotation de centre Ω et d'angle 70°, r₂ est la rotation de centre Ω et d'angle −25°. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r₂∘r₁.
Les deux rotations ont le même centre Ω, donc r₂∘r₁ est une rotation de centre Ω et d'angle égal à la somme des angles :
70° + (−25°) = 45°.
r₂∘r₁ est donc la rotation de centre Ω et d'angle 45°.
h₁ est l'homothétie de centre Ω et de rapport 3, h₂ est l'homothétie de centre Ω et de rapport −1/3. Déterminer la nature de h₂∘h₁.
Même centre Ω, rapports k₁ = 3 et k₂ = −1/3. Produit : k₁×k₂ = 3 × (−1/3) = −1.
Comme k₁k₂ ≠ 1, h₂∘h₁ est l'homothétie de centre Ω et de rapport −1, c'est-à-dire la symétrie centrale de centre Ω.
Soit (d) l'axe des abscisses et M(3 ; 1). a) Déterminer l'image M₁ de M par la projection orthogonale sur (d). b) Déterminer l'image M₂ de M par la projection sur (d) selon la direction Δ(1 ; 2). c) Déterminer l'image M₃ de M₁ par la translation de vecteur w→(4 ; −2).
a) La projection orthogonale sur (d) (l'axe des x) conserve l'abscisse et annule l'ordonnée : M₁ = (3 ; 0).
b) La droite passant par M(3 ; 1) de direction Δ(1 ; 2) a pour représentation paramétrique x = 3 + t, y = 1 + 2t. Elle coupe (d) (y = 0) lorsque 1 + 2t = 0, soit t = −0,5, donc x = 3 − 0,5 = 2,5. Ainsi M₂ = (2,5 ; 0).
c) M₃ = M₁ + w→ = (3 + 4 ; 0 + (−2)) = M₃ = (7 ; −2).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une homothétie de centre Ω et de rapport k transforme M en M' tel que :
Une rotation de centre Ω et d'angle θ conserve :
La composée de deux translations de vecteurs u→ et v→ est une translation de vecteur :
Deux rotations de même centre Ω, d'angles 70° puis −25°, ont pour composée une rotation d'angle :
Deux homothéties de même centre Ω, de rapports 3 et −1/3, ont pour composée :
Si k₁×k₂ = 1 pour deux homothéties de même centre, leur composée est :
Une projection orthogonale sur une droite (d) associe à M le point M' tel que :
Dans une projection sur (d) selon une direction Δ, la droite (MM') est :
Une homothétie de rapport k multiplie les aires par :
Les points situés sur la droite (d) sont, par une projection sur (d) :
