Ch. 04 Limites de fonctions et dérivée de fonctions composées — Terminale A Maths

1. Limites de fonctions

Définitions et règles

lim[x→a] f(x)=L : f(x) s'approche de L quand x s'approche de a.

Opérations : lim(f+g)=lim f+lim g. lim(f·g)=lim f·lim g. lim(f/g)=lim f/lim g (si lim g≠0).

Limites usuelles : lim[x→+∞] xⁿ=+∞. lim[x→+∞] 1/xⁿ=0. lim[x→+∞] eˣ=+∞. lim[x→−∞] eˣ=0.

2. Formes indéterminées

Techniques de levée

∞−∞ : factoriser par le terme dominant. ∞/∞ : diviser par le terme dominant.

Exemples : lim[x→+∞] (x²+3x)/(2x²−1) : diviser par x² → (1+3/x)/(2−1/x²) → 1/2.

lim[x→2] (x²−4)/(x−2)=lim(x+2)/(1)=4. (Factoriser au numérateur.)

3. Dérivée d'une fonction composée

Formule (f∘g)'=g'×f'∘g

Si h(x)=f(g(x)), alors h'(x)=g'(x)·f'(g(x)).

Formules clés : (g(x)ⁿ)'=n·g'(x)·g(x)ⁿ⁻¹. (e^g(x))'=g'(x)·e^g(x). (ln g(x))'=g'(x)/g(x).

Exemples : (sin(3x))'=3cos(3x). ((2x+1)⁴)'=4·2·(2x+1)³=8(2x+1)³.

🧠 À retenir

FI ∞/∞ : diviser par le terme dominant
FI 0/0 : factoriser ou simplifier
(g(x)ⁿ)'=n·g'·gⁿ⁻¹
(e^g)'=g'·e^g ; (ln g)'=g'/g

Limites usuelles

● Facile

Calculer : (1) lim[x→+∞] (3x²−x+2)/(x²+1). (2) lim[x→+∞] (2x+1)/(x²−3). (3) lim[x→1] (x²−1)/(x−1).

Correction

(1) Diviser par x²: (3−1/x+2/x²)/(1+1/x²) → 3. (2) Diviser par x²: 0. (3) (x−1)(x+1)/(x−1)=x+1 → 2.

Formes indéterminées

● Moyen

(1) lim[x→+∞] (√x−x)/(1+x). (2) lim[x→0] (e^x−1)/x. (3) lim[x→2] (x²+x−6)/(x−2).

Correction

(1) Factoriser x: x(1/√x−1)/(x(1/x+1)) → (0−1)/(0+1)=−1. (2) Taux d'accroissement de eˣ en 0 → 1. (3) (x+3)(x−2)/(x−2)=x+3 → 5.

Dérivée de fonctions composées

● Moyen

Dériver : (1) f(x)=(3x+1)⁵. (2) g(x)=e^(x²+1). (3) h(x)=ln(2x²−1). (4) k(x)=√(x²+4).

Correction

(1) 15(3x+1)⁴. (2) 2xe^(x²+1). (3) 4x/(2x²−1). (4) x/√(x²+4).

Dérivée et tableau de variations

● Moyen

f(x)=e^(−x²). (1) f'(x). (2) Tableau de variations. (3) Maximum.

Correction

(1) f'=−2x·e^(−x²). (2) f'>0 si x<0, f'<0 si x>0. (3) Max en x=0: f(0)=1.

Asymptotes et limites

● Difficile

f(x)=(x²+x)/(x−1) sur ℝ\{1}. (1) Limites en 1. (2) Asymptote oblique. (3) f'(x).

Correction

(1) Num→2, Den→0. lim[x→1⁺]=+∞, lim[x→1⁻]=−∞. AV x=1. (2) x²+x=(x−1)(x+2)+2. f=x+2+2/(x−1). AO: y=x+2. (3) f'=1−2/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)².

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit f(x)=x·eˣ.

Dérivée : Calculer f'(x) par la règle du produit.
Signe de f' : Tableau de variations complet.
Minimum : Valeur minimale de f.
Limites : lim[x→−∞] f(x) (croissances comparées : x·eˣ→0) et lim[x→+∞] f(x).
Convexité : Calculer f''(x). Point d'inflexion ?
Équation : Pour quelle valeur de k l'équation x·eˣ=k a-t-elle deux solutions ?

Correction

f'=(eˣ)+x·eˣ=eˣ(1+x).
f'=0 en x=−1. f'<0 pour x<−1, f'>0 pour x>−1.
Min en x=−1: f(−1)=−e⁻¹=−1/e.
lim[x→−∞] xeˣ=0 (eˣ→0 plus vite). lim[x→+∞]=+∞.
f''=eˣ(1+x)+eˣ=eˣ(2+x). f''=0 en x=−2. Changement de signe → inflexion en (−2,−2e⁻²).
Min=−1/e. Pour k<−1/e: 0 solution. k=−1/e: 1 solution. −1/e<k<0: 2 solutions. k≥0: 1 solution (x≥0).

QCM

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Q1/10

lim[x→+∞] 1/x²=

Q2/10

FI ∞/∞ : on divise par

Q3/10

lim[x→+∞] (x²+1)/(x²−1)=

Q4/10

(e^(3x))'=

Q5/10

(ln(x²+1))'=

Q6/10

((2x+1)³)'=

Q7/10

lim[x→2] (x²−4)/(x−2)=

Q8/10

(√(x+1))'=

Q9/10

f'(x)=eˣ(1+x). f'>0 si

Q10/10

lim[x→+∞] x·eˣ=