P(x)=ax²+bx+c (a≠0). Discriminant : Δ=b²−4ac.
Δ>0 : deux racines réelles x₁=(−b−√Δ)/(2a), x₂=(−b+√Δ)/(2a).
Δ=0 : racine double x₀=−b/(2a).
Δ<0 : pas de racine réelle.
Forme canonique : a(x−α)²+β avec α=−b/(2a), β=c−b²/(4a).
Relations de Viète : x₁+x₂=−b/a, x₁·x₂=c/a.
Si Δ<0 : P(x) a le signe de a sur ℝ entier.
Si Δ≥0 : P(x) = a(x−x₁)(x−x₂). Signe : positif à l'extérieur des racines si a>0.
Domaine : ℝ\{−d/c}. AV : x=−d/c. AH : y=a/c.
Variation : f'(x)=(ad−bc)/(cx+d)². Monotone sur chaque partie (selon signe de ad−bc).
Forme : f(x)=a/c+(bc−ad)/c·(1/(cx+d)). C'est une hyperbole (par rapport aux asymptotes).
Résoudre : (1) x²−5x+6=0. (2) 2x²−4x+2=0. (3) x²+x+1=0.
(1) Δ=1. x=2 ou x=3. (2) Δ=0. x₀=1 (double). (3) Δ=−3<0. Pas de solution réelle.
f(x)=−x²+4x−3. (1) Forme canonique. (2) Sommet. (3) Signe de f(x). (4) Solutions de f(x)≥0.
(1) −(x−2)²+1. (2) (2;1). (3) Δ=4>0. x₁=1, x₂=3. f(x)≤0 hors [1;3], f≥0 sur [1;3]. (4) [1;3].
3x²−7x+2=0. (1) Calculer Δ. (2) Trouver x₁+x₂ et x₁·x₂ sans résoudre. (3) Résoudre.
(1) Δ=49−24=25. (2) Somme=7/3. Produit=2/3. (3) x=(7±5)/6 → x₁=2, x₂=1/3.
f(x)=(2x+1)/(x−3). (1) Domaine. (2) AV et AH. (3) f'(x). (4) Variations.
(1) ℝ\{3}. (2) AV x=3. AH y=2. (3) f'=(2(x−3)−(2x+1))/(x−3)²=−7/(x−3)². (4) Toujours négatif → strictement décroissante sur ]−∞;3[ et sur ]3;+∞[.
Parmi tous les rectangles de périmètre 20 cm, trouver celui d'aire maximale.
2(l+L)=20 → L=10−l. Aire A=l(10−l)=−l²+10l. Forme can.: −(l−5)²+25. Max en l=5 → carré de côté 5. Aire max=25 cm².
Une balle est lancée verticalement. Sa hauteur (en m) est h(t)=−5t²+20t+1 (t en secondes).
10 questions · Correction immédiate
Δ=b²−4ac. Si Δ<0, l'équation ax²+bx+c=0 a
Abscisse du sommet de ax²+bx+c =
Viète : x₁+x₂=
f(x)=(3x+1)/(x−2). AV=
f(x)=(3x+1)/(x−2). AH=
f'(x) pour f=(ax+b)/(cx+d) =
x²+2x+1=0 : Δ=
Forme canonique de x²−6x+5 =
Rectangle périmètre 12, aire max :
f(x)=−2x²+4x−1. Max=
