Ch. 11 Probabilités — équiprobabilité et calcul d'événements — Terminale A Maths

1. Vocabulaire probabiliste

Définitions

Expérience aléatoire : expérience dont l'issue est imprévisible. Espace Ω : ensemble de toutes les issues possibles.

Événement : sous-ensemble A⊆Ω. A est réalisé si l'issue∈A.

Événements particuliers : Ω (certain), ∅ (impossible), Ā (contraire de A).

2. Équiprobabilité

Définition et calcul

Si toutes les issues sont également probables : P(A) = |A|/|Ω| = (nb de cas favorables)/(nb de cas possibles).

P(Ω)=1. P(∅)=0. 0≤P(A)≤1. P(Ā)=1−P(A).

3. Opérations sur les événements

Union, intersection, incompatibilité

A∩B : « A et B » (simultanés). A∪B : « A ou B » (au moins l'un).

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). A et B incompatibles : A∩B=∅ → P(A∪B)=P(A)+P(B).

A et B indépendants : P(A∩B)=P(A)·P(B).

🧠 À retenir

Équiprobabilité : P(A)=|A|/|Ω|
P(Ā)=1−P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Incompatibles : P(A∪B)=P(A)+P(B)

Dé équilibré

● Facile

Dé à 6 faces. A={nombres pairs}, B={nombres>4}. Calculer P(A), P(B), P(A∩B), P(A∪B).

Correction

P(A)=3/6=1/2. P(B)=2/6=1/3. A∩B={6}: P=1/6. P(A∪B)=1/2+1/3−1/6=2/3.

Tirage dans une urne

● Moyen

Urne : 4 boules rouges (R), 3 bleues (B), 2 vertes (V). On tire une boule. P(R), P(non-R), P(R ou B).

Correction

n=9. P(R)=4/9. P(non-R)=5/9. R∩B=∅. P(R∪B)=4/9+3/9=7/9.

Deux dés

● Moyen

On lance deux dés. A={somme=7}, B={au moins un 6}. Calculer P(A), P(B), P(A∩B).

Correction

|Ω|=36. A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}: P(A)=6/36=1/6. B: au moins un 6: 36−25=11 cas. P(B)=11/36. A∩B={(1,6),(6,1)}: P=2/36=1/18.

Événements indépendants

● Moyen

On lance une pièce et un dé. A={pile}, B={dé>4}. (1) P(A) et P(B). (2) P(A∩B). (3) A et B indépendants ?

Correction

(1) P(A)=1/2. P(B)=2/6=1/3. (2) P(A∩B)=P(pile et 5 ou 6)=2/12=1/6. (3) P(A)×P(B)=1/6=P(A∩B) ✓. Indépendants.

Problème de probabilité

● Difficile

Dans une classe de 30 élèves : 18 font du sport, 15 de la musique, 8 font les deux. (1) P(sport). (2) P(sport ou musique). (3) P(ni l'un ni l'autre).

Correction

(1) 18/30=3/5. (2) P(S∪M)=(18+15−8)/30=25/30=5/6. (3) 1−5/6=1/6.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On tire successivement 2 boules SANS remise dans une urne contenant 5 boules rouges (R) et 3 boules noires (N).

Espace Ω : Lister toutes les issues (paires ordonnées). Combien y en a-t-il ?
P(2 rouges) : Calculer en utilisant le dénombrement.
P(1 rouge et 1 noire) : Dans n'importe quel ordre.
P(2 noires) : Vérifier que les 3 probabilités s'additionnent à 1.
P(au moins 1 rouge) : Utiliser le complémentaire.
Avec remise : Recalculer P(2 rouges) si le tirage est AVEC remise. Comparer.

Correction

8×7=56 paires ordonnées (sans remise).
P(RR)=(5×4)/(8×7)=20/56=5/14.
P(RN ou NR)=(5×3+3×5)/(8×7)=30/56=15/28.
P(NN)=(3×2)/(8×7)=6/56=3/28. Vérif: 20+30+6=56 ✓. Prob: 5/14+15/28+3/28=10/28+15/28+3/28=28/28=1 ✓.
P(au moins 1R)=1−P(NN)=1−3/28=25/28.
Avec remise: P(RR)=(5/8)²=25/64≈0,391. Sans remise: 5/14≈0,357. Avec remise, P légèrement plus grande (réservoir non diminué).

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Repondues

Q1/10

Équiprobabilité: P(A)=

Q2/10

P(Ā)=

Q3/10

P(A∪B)=P(A)+P(B) ssi

Q4/10

A et B indépendants ⟺

Q5/10

P(A∪B)=P(A)+P(B)−

Q6/10

Dé: A={pair}, B={multiple de 3}. A∩B=

Q7/10

P(Ω)=

Q8/10

P(∅)=

Q9/10

Urne 3R, 5B. P(rouge)=

Q10/10

Deux lancers d'une pièce. P(2 piles)=