Ch. 12 Relations géométriques et trigonométriques — Terminale C Mathématiques

1. Formules trigonométriques avancées

Formules de duplication et de moitié

cos 2α=2cos²α−1=1−2sin²α=cos²α−sin²α.

sin 2α=2sinα cosα. tan 2α=2tanα/(1−tan²α).

cos²(α/2)=(1+cosα)/2. sin²(α/2)=(1−cosα)/2. tan(α/2)=sinα/(1+cosα).

Formules de Simpson (transformations produit-somme)

cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2).

cosα−cosβ=−2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2).

sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2).

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α−β)].

2. Relations dans un triangle

Loi des cosinus et des sinus

Loi des cosinus : a²=b²+c²−2bc·cosA.

Loi des sinus : a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.

Formule de l'aire : Aire=ab·sinC/2=(1/2)|AB∧AC|.

Inradius r : Aire=rs (s=demi-périmètre). Circumradius R=abc/(4·Aire).

3. Similitude et relations vectorielles

Propriétés conservées par similitude

Similitude de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³.

Les angles sont conservés. Les rapports de longueurs le long d'une droite sont conservés.

Image d'une figure similaire (triangle, cercle, conique) est similaire.

4. Identités vectorielles

Formules utiles

(u∧v)∧w = (u·w)v−(v·w)u (identité de Jacobi partielle).

u∧(v∧w) = (u·w)v−(u·v)w.

|u∧v|²+|u·v|²=|u|²|v|² (identité de Lagrange).

🧠 À retenir

sin 2α=2sinα cosα ; cos 2α=2cos²α−1
Loi des cosinus : a²=b²+c²−2bc cosA
Loi des sinus : a/sinA=2R
Similitude k : longueurs×k, aires×k², volumes×k³
(u∧v)∧w=(u·w)v−(v·w)u

Formules de duplication

● Facile

Sachant que cos θ=3/5 (θ∈[0,π/2]), calculer cos 2θ, sin 2θ, cos(θ/2), sin(θ/2).

Correction

sin θ=4/5. cos 2θ=2(9/25)−1=18/25−25/25=−7/25. sin 2θ=2·(3/5)·(4/5)=24/25. cos²(θ/2)=(1+3/5)/2=4/5 → cos(θ/2)=2/√5. sin²(θ/2)=(1−3/5)/2=1/5 → sin(θ/2)=1/√5.

Loi des cosinus et des sinus

● Moyen

Triangle ABC : a=7, b=5, c=3. (1) Calculer cosA. (2) Aire du triangle. (3) Circumrayon R.

Correction

(1) a²=b²+c²−2bc cosA → 49=25+9−30cosA → cosA=−15/30=−1/2. A=2π/3. (2) Aire=(1/2)·5·3·sin(2π/3)=15/2·√3/2=15√3/4. (3) R=a/(2sinA)=7/(2·√3/2)=7/√3=7√3/3.

Formules produit-somme

● Moyen

Simplifier : (1) cos3θ+cosθ. (2) sin5θ−sin3θ. (3) cos²θ−sin²θ.

Correction

(1) 2cos(2θ)cos(θ). (2) 2cos(4θ)sin(θ). (3) cos(2θ).

Identités vectorielles

● Moyen

u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0). Vérifier l'identité u∧(v∧w)=(u·w)v−(u·v)w.

Correction

v∧w=(0·0−0·1, 0·1−0·0, 0·1−1·1)=(0,0,−1). u∧(v∧w)=(1,0,0)∧(0,0,−1)=(0·(−1)−0·0, 0·0−1·(−1), 1·0−0·0)=(0,1,0)=v. Membre droit: (u·w)v−(u·v)w=1·(0,1,0)−0·(1,1,0)=(0,1,0) ✓.

Similitude et triangles

● Difficile

Deux triangles ABC et A'B'C' sont en similitude de rapport k=2. (1) Rapport des périmètres. (2) Rapport des aires. (3) Si AB=3 cm et le périmètre de ABC est 10 cm, donner A'B' et le périmètre de A'B'C'.

Correction

(1) Périmètres : rapport k=2. (2) Aires : rapport k²=4. (3) A'B'=2×3=6 cm. Périmètre A'B'C'=2×10=20 cm.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On considère un triangle ABC avec A(0,0), B(4,0), C(1,3).

Côtés : Calculer a=BC, b=CA, c=AB.
Angle A : Utiliser la loi des cosinus pour trouver cosA, puis A.
Vérification vect. : Calculer AB·AC et en déduire cosA. Comparer.
Aire : Par la formule (1/2)|AB∧AC|, calculer l'aire.
Inradius et circumradius : R=abc/(4×Aire). r=Aire/s où s est le demi-périmètre.
Similitude : On applique une similitude de rapport k=3. Donner l'aire du nouveau triangle et son circumradius.

Correction du problème de synthèse

a=BC=√((4−1)²+(0−3)²)=√(9+9)=3√2. b=CA=√(1+9)=√10. c=AB=4.
cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)=(10+16−18)/(2·√10·4)=8/(8√10)=1/√10. A=arccos(1/√10)≈71,6°.
AB=(4,0), AC=(1,3). AB·AC=4+0=4. |AB|=4, |AC|=√10. cosA=4/(4√10)=1/√10 ✓.
AB∧AC=(4,0,0)∧(1,3,0)=(0,0,12) (en 3D avec z=0). |AB∧AC|=12. Aire=12/2=6.
s=(3√2+√10+4)/2≈(4,24+3,16+4)/2≈5,70. R=3√2·√10·4/(4·6)=12√20/24=√20/2=√5. r=6/5,70≈1,05.
Aire'=9×6=54. R'=3R=3√5.

QCM

10 questions · Correction immédiate

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0/10Répondues

Q1/10

cos 2α=

Q2/10

sin 2α=

Q3/10

Loi des cosinus : a²=

Q4/10

Loi des sinus : a/sinA=

Q5/10

Similitude rapport k : rapport des aires =

Q6/10

cosα+cosβ=

Q7/10

(u∧v)∧w=

Q8/10

|u∧v|²+|u·v|²=

Q9/10

Aire d'un triangle ABC=

Q10/10

tan(α/2)=