Ch. 12 Relations géométriques et trigonométriques — Terminale C Mathématiques

1. Formules trigonométriques avancées

Formules de duplication et de moitié

cos 2α=2cos²α−1=1−2sin²α=cos²α−sin²α.

sin 2α=2sinα cosα. tan 2α=2tanα/(1−tan²α).

cos²(α/2)=(1+cosα)/2. sin²(α/2)=(1−cosα)/2. tan(α/2)=sinα/(1+cosα).

Formules de Simpson (transformations produit-somme)

cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2).

cosα−cosβ=−2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2).

sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2).

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α−β)].

2. Relations dans un triangle

Loi des cosinus et des sinus

Loi des cosinus : a²=b²+c²−2bc·cosA.

Loi des sinus : a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.

Formule de l'aire : Aire=ab·sinC/2=(1/2)|AB∧AC|.

Inradius r : Aire=rs (s=demi-périmètre). Circumradius R=abc/(4·Aire).

3. Similitude et relations vectorielles

Propriétés conservées par similitude

Similitude de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³.

Les angles sont conservés. Les rapports de longueurs le long d'une droite sont conservés.

Image d'une figure similaire (triangle, cercle, conique) est similaire.

4. Identités vectorielles

Formules utiles

(u∧v)∧w = (u·w)v−(v·w)u (identité de Jacobi partielle).

u∧(v∧w) = (u·w)v−(u·v)w.

|u∧v|²+|u·v|²=|u|²|v|² (identité de Lagrange).

🧠 À retenir

sin 2α=2sinα cosα ; cos 2α=2cos²α−1
Loi des cosinus : a²=b²+c²−2bc cosA
Loi des sinus : a/sinA=2R
Similitude k : longueurs×k, aires×k², volumes×k³
(u∧v)∧w=(u·w)v−(v·w)u

Formules de duplication

● Facile

Sachant que cos θ=3/5 (θ∈[0,π/2]), calculer cos 2θ, sin 2θ, cos(θ/2), sin(θ/2).

Correction

sin θ=4/5. cos 2θ=2(9/25)−1=18/25−25/25=−7/25. sin 2θ=2·(3/5)·(4/5)=24/25. cos²(θ/2)=(1+3/5)/2=4/5 → cos(θ/2)=2/√5. sin²(θ/2)=(1−3/5)/2=1/5 → sin(θ/2)=1/√5.

Loi des cosinus et des sinus

● Moyen

Triangle ABC : a=7, b=5, c=3. (1) Calculer cosA. (2) Aire du triangle. (3) Circumrayon R.

Correction

(1) a²=b²+c²−2bc cosA → 49=25+9−30cosA → cosA=−15/30=−1/2. A=2π/3. (2) Aire=(1/2)·5·3·sin(2π/3)=15/2·√3/2=15√3/4. (3) R=a/(2sinA)=7/(2·√3/2)=7/√3=7√3/3.

Formules produit-somme

● Moyen

Simplifier : (1) cos3θ+cosθ. (2) sin5θ−sin3θ. (3) cos²θ−sin²θ.

Correction

(1) 2cos(2θ)cos(θ). (2) 2cos(4θ)sin(θ). (3) cos(2θ).

Identités vectorielles

● Moyen

u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0). Vérifier l'identité u∧(v∧w)=(u·w)v−(u·v)w.

Correction

v∧w=(0·0−0·1, 0·1−0·0, 0·1−1·1)=(0,0,−1). u∧(v∧w)=(1,0,0)∧(0,0,−1)=(0·(−1)−0·0, 0·0−1·(−1), 1·0−0·0)=(0,1,0)=v. Membre droit: (u·w)v−(u·v)w=1·(0,1,0)−0·(1,1,0)=(0,1,0) ✓.

Similitude et triangles

● Difficile

Deux triangles ABC et A'B'C' sont en similitude de rapport k=2. (1) Rapport des périmètres. (2) Rapport des aires. (3) Si AB=3 cm et le périmètre de ABC est 10 cm, donner A'B' et le périmètre de A'B'C'.

Correction

(1) Périmètres : rapport k=2. (2) Aires : rapport k²=4. (3) A'B'=2×3=6 cm. Périmètre A'B'C'=2×10=20 cm.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On considère un triangle ABC avec A(0,0), B(4,0), C(1,3).

Côtés : Calculer a=BC, b=CA, c=AB.
Angle A : Utiliser la loi des cosinus pour trouver cosA, puis A.
Vérification vect. : Calculer AB·AC et en déduire cosA. Comparer.
Aire : Par la formule (1/2)|AB∧AC|, calculer l'aire.
Inradius et circumradius : R=abc/(4×Aire). r=Aire/s où s est le demi-périmètre.
Similitude : On applique une similitude de rapport k=3. Donner l'aire du nouveau triangle et son circumradius.

Correction du problème de synthèse

a=BC=√((4−1)²+(0−3)²)=√(9+9)=3√2. b=CA=√(1+9)=√10. c=AB=4.
cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)=(10+16−18)/(2·√10·4)=8/(8√10)=1/√10. A=arccos(1/√10)≈71,6°.
AB=(4,0), AC=(1,3). AB·AC=4+0=4. |AB|=4, |AC|=√10. cosA=4/(4√10)=1/√10 ✓.
AB∧AC=(4,0,0)∧(1,3,0)=(0,0,12) (en 3D avec z=0). |AB∧AC|=12. Aire=12/2=6.
s=(3√2+√10+4)/2≈(4,24+3,16+4)/2≈5,70. R=3√2·√10·4/(4·6)=12√20/24=√20/2=√5. r=6/5,70≈1,05.
Aire'=9×6=54. R'=3R=3√5.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

cos 2α=

Q2/10

sin 2α=

Q3/10

Loi des cosinus : a²=

Q4/10

Loi des sinus : a/sinA=

Q5/10

Similitude rapport k : rapport des aires =

Q6/10

cosα+cosβ=

Q7/10

(u∧v)∧w=

Q8/10

|u∧v|²+|u·v|²=

Q9/10

Aire d'un triangle ABC=

Q10/10

tan(α/2)=

Loi des sinus — cas simple

● Facile

Dans un triangle ABC, on donne Â = 40°, B̂ = 75° et a = 8 cm. (1) Calculer Ĉ. (2) Calculer b et c à l'aide de la loi des sinus.

Correction

Ĉ = 180° − 40° − 75° = 65°. a/sinA = 8/sin40° ≈ 8/0,6428 ≈ 12,45. b = 12,45×sin75° ≈ 12,45×0,9659 ≈ 12,0 cm. c = 12,45×sin65° ≈ 12,45×0,9063 ≈ 11,3 cm.

Loi des sinus — deux angles connus

● Facile

Dans un triangle ABC, B̂ = 48°, Ĉ = 82°, b = 9 cm. (1) Calculer Â. (2) Calculer a et c.

Correction

Â = 180 − 48 − 82 = 50°. b/sinB = 9/sin48° ≈ 9/0,7431 ≈ 12,11. a = 12,11×sin50° ≈ 12,11×0,7660 ≈ 9,28 cm. c = 12,11×sin82° ≈ 12,11×0,9903 ≈ 12,0 cm.

Loi des cosinus — calcul d'un côté

● Moyen

Dans un triangle ABC, b = 7 cm, c = 5 cm et Â = 60°. Calculer a.

Correction

a² = b²+c²−2bc·cosA = 49+25−2×7×5×cos60° = 74−70×0,5 = 74−35 = 39. a = √39 ≈ 6,24 cm.

Loi des cosinus — calcul d'un angle

● Moyen

Un triangle ABC a pour côtés a = 8, b = 6, c = 5. Calculer l'angle Â (opposé au plus grand côté).

Correction

cosA = (b²+c²−a²)/(2bc) = (36+25−64)/60 = −3/60 = −0,05. Â = arccos(−0,05) ≈ 92,9°.

Aire d'un triangle par la trigonométrie

● Moyen

Dans un triangle ABC, a = 9 cm, b = 6 cm et Ĉ = 50°. (1) Calculer l'aire S du triangle. (2) Calculer le côté c.

Correction

S = (1/2)ab sinC = (1/2)×9×6×sin50° = 27×0,7660 ≈ 20,7 cm². c² = a²+b²−2ab cosC = 81+36−108×cos50° ≈ 117−108×0,6428 ≈ 117−69,4 = 47,6. c ≈ √47,6 ≈ 6,90 cm.

Résolution complète d'un triangle (deux côtés et l'angle inclus)

● Moyen

Dans un triangle ABC, b = 10, c = 7 et Â = 55°. Déterminer entièrement le triangle : calculer a, puis B̂ et Ĉ.

Correction

a² = b²+c²−2bc cosA = 100+49−140×cos55° ≈ 149−140×0,5736 ≈ 149−80,30 = 68,70. a ≈ 8,29. cosB = (a²+c²−b²)/(2ac) = (68,70+49−100)/(2×8,29×7) ≈ 17,70/116,06 ≈ 0,1525. B̂ ≈ 81,2°. Ĉ = 180−55−81,2 = 43,8°. On utilise la loi des cosinus pour B̂ (et non la loi des sinus) afin d'éviter toute ambiguïté sur un éventuel angle obtus.

Résolution complète d'un triangle (trois côtés connus)

● Difficile

Un triangle a pour côtés a = 13, b = 14, c = 15. Calculer les trois angles Â, B̂, Ĉ.

Correction

cosA = (b²+c²−a²)/(2bc) = (196+225−169)/420 = 252/420 = 0,6 → Â = arccos(0,6) = 53,13°. cosB = (a²+c²−b²)/(2ac) = (169+225−196)/390 = 198/390 ≈ 0,5077 → B̂ ≈ 59,49°. Ĉ = 180−53,13−59,49 = 67,38°.

Relations métriques : médiane et bissectrice

● Difficile

Dans un triangle ABC, a = 9, b = 7, c = 5. (1) Calculer Â par la loi des cosinus. (2) Calculer la longueur de la médiane issue de A, notée mₐ, à l'aide de mₐ² = (2b²+2c²−a²)/4. (3) Calculer la longueur de la bissectrice issue de A, notée tₐ, à l'aide de tₐ = 2bc·cos(Â/2)/(b+c).

Correction

cosA = (b²+c²−a²)/(2bc) = (49+25−81)/70 = −7/70 = −0,1 → Â = arccos(−0,1) ≈ 95,74°. mₐ² = (2×49+2×25−81)/4 = (98+50−81)/4 = 67/4 = 16,75 → mₐ ≈ 4,09. cos(Â/2) = √((1+cosA)/2) = √0,45 ≈ 0,6708. tₐ = (2×7×5×0,6708)/12 = 46,96/12 ≈ 3,91.

De la loi des cosinus à la formule de Héron

● Difficile

On admet que, dans un triangle ABC, S=(1/2)bc sinA. (1) En utilisant cosA=(b²+c²−a²)/(2bc) et sin²A=1−cos²A, montrer que 16S² = 2a²b²+2b²c²+2c²a²−a⁴−b⁴−c⁴ (identité liée à la formule de Héron). (2) Appliquer cette identité au triangle a=13, b=14, c=15 de l'exercice précédent pour retrouver l'aire S, et comparer au résultat donné par S=(1/2)bc sinA avec Â≈53,13°.

Correction

(1) sin²A = 1−cos²A = [4b²c²−(b²+c²−a²)²]/(4b²c²). Donc S² = (1/4)b²c² sin²A = b²c²−(1/4)(b²+c²−a²)², soit 16S² = 16b²c²−4(b²+c²−a²)². En développant (b²+c²−a²)² = a⁴+b⁴+c⁴+2b²c²−2a²b²−2a²c², on obtient après simplification 16S² = 2a²b²+2b²c²+2c²a²−a⁴−b⁴−c⁴.

(2) Avec a=13, b=14, c=15 : a²=169, b²=196, c²=225. 2a²b²=66248, 2b²c²=88200, 2c²a²=76050, somme=230498. a⁴=28561, b⁴=38416, c⁴=50625, somme=117602. 16S²=230498−117602=112896, S²=7056, S=√7056=84. Vérification : S=(1/2)×14×15×sin53,13°=105×0,8=84 ✓ (les deux méthodes coïncident).

Le cas ambigu de la loi des sinus

● Difficile

Dans un triangle ABC, a=11, b=15 et Â=30°. Montrer qu'il existe deux triangles solutions, et donner pour chacun B̂, Ĉ et c.

Correction

sinB = b sinA/a = 15×0,5/11 ≈ 0,6818. Comme a<b et a>b sinA (=7,5), il existe deux valeurs possibles pour B̂ : B̂₁≈43,03° et B̂₂=180−43,03≈136,97°, toutes deux compatibles avec Â=30°.

Cas 1 : B̂≈43,03°, Ĉ=180−30−43,03=106,97°. c=a sinC/sinA=11×sin106,97°/0,5≈11×0,9568/0,5≈21,05.

Cas 2 : B̂≈136,97°, Ĉ=180−30−136,97=13,03°. c=11×sin13,03°/0,5≈11×0,2254/0,5≈4,96. Les deux triangles sont géométriquement valides.

Triangulation : largeur d'un fleuve

● Difficile

Un géomètre veut mesurer la largeur d'un fleuve. Il place deux points A et B sur une même rive, distants de AB = 100 m. Il vise un point fixe C sur l'autre rive et mesure les angles Â = 62° et B̂ = 75° du triangle ABC.

Calculer l'angle Ĉ.
Calculer les distances AC et BC à l'aide de la loi des sinus.
En déduire la largeur h du fleuve, définie comme la distance de C à la droite (AB).

Correction

Ĉ = 180−62−75 = 43°.
AB/sinC = AC/sinB = BC/sinA = 100/sin43° ≈ 100/0,6820 ≈ 146,63. AC = 146,63×sin75° ≈ 141,6 m. BC = 146,63×sin62° ≈ 129,5 m.
En notant H le pied de la perpendiculaire issue de C sur (AB), dans le triangle rectangle ACH : h = AC×sinA = 141,6×sin62° ≈ 141,6×0,8829 ≈ 125,0 m.

Cercles inscrit et circonscrit d'un triangle rectangle

● Difficile

On considère un triangle ABC tel que a=BC=6, b=CA=8, c=AB=10.

Montrer, à l'aide de la loi des cosinus, que le triangle est rectangle en C.
Calculer l'aire S du triangle.
Calculer le rayon R du cercle circonscrit à l'aide de R = abc/(4S).
Calculer le rayon r du cercle inscrit à l'aide de r = S/s, où s est le demi-périmètre.
Montrer, en utilisant la loi des sinus, que pour tout triangle rectangle en C on a R = c/2, et vérifier ce résultat ici.

Correction

cosC = (a²+b²−c²)/(2ab) = (36+64−100)/96 = 0/96 = 0 → Ĉ = 90°.
S = (1/2)ab sinC = (1/2)×6×8×1 = 24.
R = abc/(4S) = 6×8×10/(4×24) = 480/96 = 5.
s = (6+8+10)/2 = 12. r = 24/12 = 2.
Loi des sinus : c/sinC = 2R. Si Ĉ=90°, sinC=1, donc R=c/2=10/2=5, ce qui confirme le résultat de la question 3.

Triangle isocèle inscrit dans un cercle

● Difficile

Un triangle isocèle ABC (AB=AC) est inscrit dans un cercle de rayon R=5 cm. L'angle au sommet Â vaut 40°.

Calculer BC = a à l'aide de a = 2R sinA.
Justifier que B̂=Ĉ, puis calculer leur valeur commune.
Calculer les côtés égaux AB=AC=b=c à l'aide de b = 2R sinB.
Calculer l'aire S du triangle par S = (1/2)bc sinA.
Vérifier ce résultat à l'aide de la formule S = abc/(4R).

Correction

a = 2×5×sin40° = 10×0,6428 ≈ 6,43 cm.
Le triangle étant isocèle en A, les angles à la base sont égaux : B̂=Ĉ=(180−40)/2=70°.
b = 2R sinB = 10×sin70° ≈ 9,40 cm (c=b par symétrie).
S = (1/2)×9,40×9,40×sin40° ≈ (1/2)×88,36×0,6428 ≈ 28,4 cm².
S = abc/(4R) = 6,43×9,40×9,40/(4×5) = 6,43×88,36/20 ≈ 568,3/20 ≈ 28,4 cm². Les deux résultats coïncident ✓.

Aire d'un terrain triangulaire (formule de Héron)

● Difficile

Un terrain triangulaire ABC a pour dimensions AB=c=120 m, BC=a=150 m, CA=b=90 m.

Calculer l'aire S du terrain par la formule de Héron : S=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), avec s le demi-périmètre.
Calculer l'angle Â par la loi des cosinus et en déduire la nature du triangle.
On place le point M, milieu de [BC]. Calculer la longueur de la médiane AM à l'aide de AM²=(2b²+2c²−a²)/4.
Calculer le rayon R du cercle circonscrit au terrain à l'aide de R=abc/(4S).

Correction

s=(150+90+120)/2=180. S=√(180×30×90×60)=√29 160 000=5400 m².
cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)=(8100+14400−22500)/(2×90×120)=0/21600=0 → Â=90° : le triangle est rectangle en A.
AM²=(2×8100+2×14400−22500)/4=(16200+28800−22500)/4=22500/4=5625 → AM=√5625=75 m (dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse BC/2=75 m).
R=abc/(4S)=150×90×120/(4×5400)=1 620 000/21 600=75 m (on retrouve R=BC/2, propriété du triangle rectangle).

Synthèse : allée bissectrice dans un parc triangulaire

● Difficile

Un parc triangulaire ABC a pour côtés AB=c=200 m, AC=b=150 m et un angle en A de Â=70°. On souhaite tracer une allée rectiligne [AD], D∈[BC], qui partage l'angle Â en deux angles égaux (bissectrice issue de A).

Calculer BC=a par la loi des cosinus.
Calculer l'aire S du parc par S=(1/2)bc sinA.
Calculer la longueur de l'allée AD à l'aide de AD=2bc·cos(Â/2)/(b+c).
Le théorème de la bissectrice donne BD/DC=c/b. En déduire BD et DC.
Calculer le rayon R du cercle circonscrit au parc.

Correction

a²=b²+c²−2bc cosA=150²+200²−2×150×200×cos70°≈22500+40000−60000×0,3420≈62500−20520=41980. a≈√41980≈204,9 m.
S=(1/2)×150×200×sin70°=15000×0,9397≈14 095,5 m².
cos35°≈0,8192. AD=(2×150×200×0,8192)/(150+200)=49152/350≈140,4 m.
BD/DC=c/b=200/150=4/3. Avec BD+DC=a≈204,9 : BD=a×c/(b+c)=204,9×200/350≈117,1 m et DC=204,9×150/350≈87,8 m (117,1+87,8≈204,9 ✓).
R=a/(2 sinA)=204,9/(2×0,9397)≈109,0 m (vérification : R=abc/(4S)=204,9×150×200/(4×14095,5)≈109,0 m).