f'=3x²−3=3(x−1)(x+1). Zeros: x=−1 et x=1. f(−1)=3>0, f(0)=1>0, f(1)=−1<0, f(2)=3>0. TVI: f change de signe sur ]−2;−1[ (f(−2)=−1<0), ]0;1[ (f change de signe), ]1;2[. Trois racines distinctes. Rolle assure deux extrema entre toute paire de racines.

(1) f(t)=ln(1+t). f'(t)=1/(1+t). Sur [0;x] : 1/(1+x)≤f'(t)≤1. TAF: x/(1+x)≤ln(1+x)≤x ✓. (2) x=1: 1/2<ln2<1.

1. 0/0→(eˣ−1)/(2x)→0/0→eˣ/2=1/2. (2) 0/0→(1−cos x)/(3x²)→sin x/(6x)=1/6. (3) 0/0 : poser t=1/x→0 : ln(1+t)/t→1.

(1) sin x=x−x³/6+o(x³). e^(sin x)=1+(x−x³/6)+½(x−...)²+1/6(x)³+...=1+x+x²/2+(−1/6+1/6)x³+o(x³)=1+x+x²/2+o(x³). (2) Num=e^(sin x)−1−sin x=x²/2+o(x²). Den=sin²x∼x². Limite=1/2.

(1) g'=eˣ−1=0 → x=0. g(0)=−1<0. g(−∞)=+∞, g(+∞)=+∞. Un minimum en x=0 valant −1<0. Deux racines : l'une dans ]−∞;0[ et l'autre dans ]0;+∞[. (2) Soit x₁<0<x₂ les deux racines. g(x₁)=g(x₂)=0. Rolle → ∃c∈]x₁;x₂[ : g'(c)=0. g'(c)=eᶜ−1=0 → c=0. ✓ (on retrouve l'unique point critique).

1. f'(x) = −5x⁴ + 3x².
2. Composée u⁴ avec u=x²+1, u'=2x : f'(x) = 4u³u' = 8x(x²+1)³.
3. Produit u·v avec u=(5x+2)³ (u'=15(5x+2)²) et v=3−4x (v'=−4) : f'(x) = 15(5x+2)²(3−4x) − 4(5x+2)³ = (5x+2)²[15(3−4x)−4(5x+2)] = (5x+2)²(37−80x).
4. Produit u·v avec u=x⁵ (u'=5x⁴) et v=(2−4x²)³ (v'=−24x(2−4x²)²) : f'(x) = 5x⁴(2−4x²)³ − 24x⁶(2−4x²)² = (2−4x²)²(10x⁴−44x⁶) = 2x⁴(2−4x²)²(5−22x²).

Méthode algébrique. Posons s=sin²x, c=cos²x, avec s+c=1. sin⁶x+cos⁶x = s³+c³ = (s+c)(s²−sc+c²) = s²−sc+c² = (s+c)²−3sc = 1−3sc. Donc f(x) = 1−3sc+3sc = 1 : f est constante, égale à 1.

Méthode par la dérivée (corollaire du TAF : f'=0 sur un intervalle ⇒ f constante). f'(x) = 6sinx cosx(sin⁴x−cos⁴x) + 6sinx cosx(cos²x−sin²x). Or sin⁴x−cos⁴x = (sin²x−cos²x)(sin²x+cos²x) = sin²x−cos²x = −(cos²x−sin²x), donc le crochet est nul : f'(x)=0 pour tout x. f est donc constante, et f(0)=0+1+0=1.

1. f'(x) = −sin x − cos x.
2. Composée sin(u), u=x²−π/6, u'=2x : f'(x) = 2x·cos(x²−π/6).
3. Composée sin(u), u=cos x, u'=−sin x : f'(x) = −sin x·cos(cos x).
4. Produit : (cos(1/x))' = sin(1/x)/x², donc f'(x) = 2x cos(1/x) + x²·sin(1/x)/x² = 2x cos(1/x) + sin(1/x).
5. Composée tan(u), u=tan x, u'=1+tan²x, et (tan u)'=u'(1+tan²u) : f'(x) = (1+tan²x)(1+tan²(tan x)).

1. C'est le taux d'accroissement de sin en a : la limite vaut sin'(a) = cos a.
2. C'est le taux d'accroissement de tan en a : la limite vaut tan'(a) = 1+tan²a = 1/cos²a.
3. C'est le taux d'accroissement de x↦cos²x en a ; sa dérivée est 2cos x·(−sin x) = −sin(2x). La limite vaut donc −sin(2a).
4. cos x + 1 = cos x − cos π (car cos π=−1) : c'est le taux d'accroissement de cos en π. La limite vaut cos'(π) = −sin π = 0.

1. f'(x) = −(x²+1)/(x²−1)² ; f''(x) = 2x(x²+3)/(x²−1)³.
2. f(x)=x/2+1/(2x), donc f'(x) = 1/2 − 1/(2x²) ; f''(x) = 1/x³.
3. f'(x) = (x−1)/√(x²−2x) ; f''(x) = −1/(x²−2x)^(3/2) (car u−(x−1)²=−1 avec u=x²−2x).
4. f'(x) = −3sin x cos²x ; f''(x) = −9cos³x + 6cos x = 3cos x(2−3cos²x).
5. f'(x) = 3sin²x cos x ; f''(x) = 6sin x cos²x − 3sin³x = 3sin x(2−3sin²x).
6. f'(x) = 2tan x(1+tan²x) ; f''(x) = 2(1+tan²x)(1+3tan²x).

1. x²−3x=x(x−3)≥0 sur D=]−∞;0]∪[3;+∞[. Sur l'intérieur de D, f'(x)=(2x−3)/(2√(x²−3x)). Aux bornes x=0 et x=3, le taux d'accroissement se comporte comme ±√3/√|x| qui tend vers ±∞ : f n'est pas dérivable en 0 ni en 3 (demi-tangentes verticales).
2. D=[−1;+∞[. Sur ]−1;+∞[, f'(x) = 2x√(x+1) + (x²−1)/(2√(x+1)) = (5x²+4x−1)/(2√(x+1)). En x=−1 : f(x)−f(−1)=(x²−1)√(x+1) est équivalent à −2(x+1)^(3/2), donc le taux d'accroissement tend vers 0 : f est dérivable à droite en −1, avec f'(−1)=0.
3. Le quotient (x+2)/(x−1) est ≥0 sur D=]−∞;−2]∪]1;+∞[. Sur l'intérieur, f'(x) = −3 / [2(x−1)²√((x+2)/(x−1))]. En x=−2, le taux d'accroissement tend vers −∞ : f n'est pas dérivable en −2 (demi-tangente verticale). En x=1, f n'est pas définie (asymptote verticale).

1. f=g^(5/3) ; la racine cubique (indice impair) est définie sur ℝ tout entier, donc f est définie sur ℝ. f'(x) = (5/3)(4x−1)(2x²−x−6)^(2/3), formule encore valable aux racines x=−3/2 et x=2 : au voisinage d'une racine simple x₀, g(x)~g'(x₀)(x−x₀), donc f(x)~[g'(x₀)]^(5/3)(x−x₀)^(5/3), fonction dont la dérivée en 0 est nulle. f est donc dérivable sur ℝ tout entier, avec f'(x₀)=0 aux deux racines.
2. f=g^(3/5), définie sur ℝ (racine cinquième, indice impair). f'(x) = (3/5)(4x−1)/(2x²−x−6)^(2/5). L'exposant 2/5 au dénominateur tend vers 0⁺ quand g→0, donc f'→+∞ : f n'est pas dérivable en x=−3/2 ni en x=2 (tangentes verticales), mais elle est dérivable ailleurs sur ℝ.
3. f=g^(−1/3), définie sur ℝ\{−3/2 ; 2} (il faut g≠0). f'(x) = −(4x−1)/(3(2x²−x−6)^(4/3)), dérivable sur tout son domaine de définition.

1. f'(x) = 2sin x cos x = sin(2x) ≥ 0 sur [0;π/2] (car 2x∈[0;π]), et f' ne s'annule qu'aux bornes 0 et π/2 : f est donc strictement croissante sur [0;π/2]. Continue et strictement croissante, f réalise une bijection de [0;π/2] sur [f(0);f(π/2)]=[0;1] : elle admet une réciproque f⁻¹:[0;1]→[0;π/2].
2. f⁻¹ est dérivable en y=f(x) si et seulement si f'(x)≠0, c'est-à-dire x≠0 et x≠π/2, soit y≠0 et y≠1. f⁻¹ est donc dérivable sur ]0;1[. Pour x=f⁻¹(y)∈]0;π/2[, on a sin x=√y et cos x=√(1−y) (positifs sur cet intervalle). (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x) = 1/sin(2x) = 1/(2sin x cos x) = 1/(2√y·√(1−y)).

1. f'(x) = ½(1+tan²(x/2)) > 0 sur ]−π;π[ : f est strictement croissante et continue. Quand x→−π⁺, x/2→−π/2⁺ et tan(x/2)→−∞ ; quand x→π⁻, tan(x/2)→+∞. f réalise donc une bijection de ]−π;π[ sur ℝ : elle admet une réciproque f⁻¹:ℝ→]−π;π[.
2. f' ne s'annule jamais sur ]−π;π[, donc f⁻¹ est dérivable sur ℝ tout entier. Pour y=f(x), on a tan(x/2)=y donc (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x) = 1/[½(1+tan²(x/2))] = 2/(1+y²).

1. Initialisation (n=0) : f⁽⁰⁾(x)=cos x=cos(x+0). Hérédité : si f⁽ⁿ⁾(x)=cos(x+nπ/2), alors f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = −sin(x+nπ/2) = cos(x+nπ/2+π/2) = cos(x+(n+1)π/2) (car −sinθ=cos(θ+π/2)). La propriété est donc vraie pour tout n∈ℕ.
2. Par le même raisonnement (récurrence : chaque dérivation multiplie par a et décale la phase de π/2) : (sin(ax+b))⁽ⁿ⁾ = aⁿsin(ax+b+nπ/2) et (cos(ax+b))⁽ⁿ⁾ = aⁿcos(ax+b+nπ/2).
3. Pour cos(2x) : a=2,b=0 → dérivée n-ième 2ⁿcos(2x+nπ/2). Pour sin(x/2) : a=1/2,b=0 → dérivée n-ième (1/2)ⁿsin(x/2+nπ/2). Par différence : [cos(2x)−sin(x/2)]⁽ⁿ⁾ = 2ⁿcos(2x+nπ/2) − (1/2)ⁿsin(x/2+nπ/2).

f'(x) = (x²+2x−4)/(x+1)² (par la formule du quotient : [(2x−3)(x+1)−(x²−3x+1)]/(x+1)²).

1. f(1)=−1/2, f'(1)=−1/4. Tangente : y = −1/2 − (1/4)(x−1) = −x/4 − 1/4.
2. f'(x)=−4 ⟺ x²+2x−4=−4(x+1)² ⟺ 5x²+10x=0 ⟺ x=0 ou x=−2. Deux points conviennent : (0;1) et (−2;−11).
3. La droite a pour coefficient directeur 3/2. f'(x)=3/2 ⟺ x²+2x+11=0, de discriminant −40<0 : aucune solution, donc aucun point de (𝒞) n'a une tangente parallèle à cette droite.

Soit f(x)=√x sur [32;33]. f'(x)=1/(2√x) est décroissante, donc pour tout x∈]32;33[, f'(x) ≤ 1/(2√32). L'inégalité des accroissements finis donne : f(33)−f(32) ≤ (1/(2√32))·(33−32), soit √33−√32 ≤ 1/(2√32) = 1/(8√2) = √2/16 ≈ 0,0884.

1. Soit f(x)=tan x sur [0;a]. f'(x)=1/cos²x. Sur [0;a]⊂[0;π/4], f' est croissante (car cos est décroissant), donc 1≤f'(x)≤1/cos²a. L'inégalité des accroissements finis donne a ≤ tan a ≤ a/cos²a. Or a≤π/4 ⟹ cos a≥1/√2 ⟹ 1/cos²a≤2, donc a/cos²a≤2a. D'où a ≤ tan a ≤ 2a.
2. Sur [a;b], f'(x)=1/cos²x est croissante (cos décroît sur [0;π/2[), donc son minimum sur [a;b] est f'(a)=1/cos²a et son maximum f'(b)=1/cos²b. L'inégalité des accroissements finis appliquée à tan sur [a;b] donne directement (b−a)/cos²a ≤ tan b − tan a ≤ (b−a)/cos²b.

Soit f(t)=√(1−t) sur [0;x], x∈[0;1/2]. f'(t) = −1/(2√(1−t)). Pour t∈[0;x], 1−t∈[1/2;1], donc √(1−t)∈[1/√2;1], d'où f'(t)∈[−1/√2;−1/2]. L'inégalité des accroissements finis donne : −x/√2 ≤ f(x)−f(0) ≤ −x/2, soit −x/√2 ≤ √(1−x)−1 ≤ −x/2, c'est-à-dire 1−x/√2 ≤ √(1−x) ≤ 1−x/2.

Un polynôme de degré ≤4 est entièrement déterminé par sa valeur et ses quatre premières dérivées en un point : c'est exactement son polynôme de Taylor en ce point, et pour une fonction polynôme de degré 4, la formule de Taylor est exacte (pas de reste). En posant u=x+1 :

f(x) = f(−1) + f'(−1)·u + f''(−1)/2!·u² + f'''(−1)/3!·u³ + f⁽⁴⁾(−1)/4!·u⁴ = 1 + 2u + (3/2)u² + (2/3)u³ + (5/24)u⁴.

En développant (u=x+1), on obtient la forme polynomiale : f(x) = (5/24)x⁴ + (3/2)x³ + (19/4)x² + (47/6)x + 43/8 (on vérifie : f(−1) = 5/24−3/2+19/4−47/6+43/8 = 1 ✓).