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1. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle

f continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[, f(a)=f(b) → ∃c∈]a;b[ : f'(c)=0.

Théorème des accroissements finis (TAF)

f continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ → ∃c∈]a;b[ : f(b)−f(a)=f'(c)(b−a).

Inégalité des accroissements finis : m≤f'≤M sur ]a;b[ → m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a).

2. Règle de L'Hôpital et formes indéterminées

L'Hôpital

Si lim f=lim g=0 (ou ∞) et g'≠0 au voisinage, alors lim f/g=lim f'/g' (si cette limite existe).

Formes : 0/0, ∞/∞. Autres (0·∞, ∞−∞, 1^∞) se ramènent par transformation.

3. Formule de Taylor-Young

Développement limité en 0

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+...+f^(n)(0)xⁿ/n!+o(xⁿ).

Exemples : eˣ=1+x+x²/2+x³/6+...+xⁿ/n!+o(xⁿ).

sin x=x−x³/6+x⁵/120+...+o(x²ⁿ). cos x=1−x²/2+x⁴/24+...+o(x²ⁿ⁺¹).

ln(1+x)=x−x²/2+x³/3−...+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n+o(xⁿ).

🧠 À retenir

  • Rolle : f(a)=f(b) → ∃c : f'(c)=0
  • TAF : f(b)−f(a)=f'(c)(b−a)
  • L'Hôpital : 0/0 ou ∞/∞ → dériver num. et dén.
  • Taylor : eˣ=1+x+x²/2!+... ; sin x=x−x³/6+...
  • Inégalité TAF : m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)
1

Théorème de Rolle — unicité

● Moyen

f(x)=x³−3x+1. Montrer que f'(x)=0 a exactement deux solutions dans ℝ, et en déduire que f(x)=0 a trois solutions distinctes.

Correction

f'=3x²−3=3(x−1)(x+1). Zeros: x=−1 et x=1. f(−1)=3>0, f(0)=1>0, f(1)=−1<0, f(2)=3>0. TVI: f change de signe sur ]−2;−1[ (f(−2)=−1<0), ]0;1[ (f change de signe), ]1;2[. Trois racines distinctes. Rolle assure deux extrema entre toute paire de racines.

2

TAF — inégalité

● Moyen

(1) Montrer que pour x>0 : x/(1+x)<ln(1+x)<x. (2) En déduire un encadrement de ln(2).

Correction

(1) f(t)=ln(1+t). f'(t)=1/(1+t). Sur [0;x] : 1/(1+x)≤f'(t)≤1. TAF: x/(1+x)≤ln(1+x)≤x ✓. (2) x=1: 1/2<ln2<1.

3

Règle de L'Hôpital

● Moyen
  1. lim[x→0] (eˣ−1−x)/x². (2) lim[x→0] (x−sin x)/x³. (3) lim[x→+∞] x·ln(1+1/x).
Correction
  1. 0/0→(eˣ−1)/(2x)→0/0→eˣ/2=1/2. (2) 0/0→(1−cos x)/(3x²)→sin x/(6x)=1/6. (3) 0/0 : poser t=1/x→0 : ln(1+t)/t→1.
4

Développement limité

● Moyen

(1) DL de e^(sin x) à l'ordre 3 en 0. (2) En déduire lim[x→0] (e^(sin x)−1−sin x)/sin²x.

Correction

(1) sin x=x−x³/6+o(x³). e^(sin x)=1+(x−x³/6)+½(x−...)²+1/6(x)³+...=1+x+x²/2+(−1/6+1/6)x³+o(x³)=1+x+x²/2+o(x³). (2) Num=e^(sin x)−1−sin x=x²/2+o(x²). Den=sin²x∼x². Limite=1/2.

5

Unicité par Rolle

● Difficile

g(x)=eˣ−x−2. (1) Montrer que g a exactement deux racines. (2) Montrer par Rolle qu'entre deux racines de g, il en existe une de g'.

Correction

(1) g'=eˣ−1=0 → x=0. g(0)=−1<0. g(−∞)=+∞, g(+∞)=+∞. Un minimum en x=0 valant −1<0. Deux racines : l'une dans ]−∞;0[ et l'autre dans ]0;+∞[. (2) Soit x₁<0<x₂ les deux racines. g(x₁)=g(x₂)=0. Rolle → ∃c∈]x₁;x₂[ : g'(c)=0. g'(c)=eᶜ−1=0 → c=0. ✓ (on retrouve l'unique point critique).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On pose Iₙ=∫₀¹ xⁿeˣdx pour n≥0.

  1. Relation de récurrence : Montrer par IPP que Iₙ=e−n·Iₙ₋₁.
  2. Calcul : I₀, I₁, I₂.
  3. Encadrement : Montrer 0<Iₙ≤e/(n+1). En déduire Iₙ→0.
  4. Application de L'Hôpital : Calculer lim[n→+∞] n·Iₙ par la récurrence Iₙ=e−nIₙ₋₁.
  5. Développement limité : En utilisant eˣ=1+x+x²/2+..., montrer que Iₙ=1/(n+1)+1/(n+2)+O(1/n²).
  6. TAF appliqué : Montrer que pour tout x∈[0;1], e−1≤eˣ≤e, et en déduire 1/(n+1)≤Iₙ≤e/(n+1).
Correction du problème de synthèse
  1. IPP : u'=eˣ, v=xⁿ. [xⁿeˣ]₀¹−n∫₀¹xⁿ⁻¹eˣdx=e−nIₙ₋₁.
  2. I₀=e−1. I₁=e−I₀=e−(e−1)=1. I₂=e−2I₁=e−2.
  3. 0≤xⁿ≤1 et 1≤eˣ≤e sur [0;1]. Donc 0<Iₙ≤e∫₀¹xⁿdx=e/(n+1)→0.
  4. n·Iₙ=n(e−(n+1)·I_{n+1}/... Depuis Iₙ=e−nIₙ₋₁ → Iₙ/Iₙ₋₁→0. n·Iₙ: Iₙ≤e/(n+1) → n·Iₙ≤ne/(n+1)→e. Et n·Iₙ≥n/(n+1)→1. Donc n·Iₙ→... entre 1 et e. Plus précis: I₁=1, nI₁=1 (n=1). I₂=e−2, 2I₂=2e−4≈1,44. Pas de limite simple par cette méthode.
  5. eˣ=1+x+x²/2+... Iₙ=∫₀¹xⁿ(1+x+x²/2+...)dx=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2(n+3))+...∼1/(n+1)+1/(n+2)+O(1/n²).
  6. 1≤eˣ≤e sur [0;1]. Iₙ=∫₀¹xⁿeˣdx entre ∫₀¹xⁿdx=1/(n+1) et e·∫₀¹xⁿdx=e/(n+1). Donc 1/(n+1)≤Iₙ≤e/(n+1). ✓

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Rolle : f(a)=f(b) → ∃c : f'(c)=

Q2/10

TAF : f(b)−f(a)=f'(c)·

Q3/10

L'Hôpital s'applique pour les formes

Q4/10

lim[x→0] (eˣ−1−x)/x²=

Q5/10

DL de eˣ à l'ordre 2 en 0=

Q6/10

DL de sin x à l'ordre 3=

Q7/10

lim[x→0] (x−sin x)/x³=

Q8/10

Inégalité TAF : m≤f'≤M sur ]a;b[ →

Q9/10

DL de ln(1+x) à l'ordre 2=

Q10/10

f'(x)=0 sur ]a;b[ →