1. Domaine de définition. 2. Parité/périodicité. 3. Limites aux bords du domaine. 4. Asymptotes. 5. Dérivée f' et tableau de variations. 6. Convexité f''. 7. Points singuliers. 8. Tableau de valeurs. 9. Graphique.
• Verticale x=a : lim|f(x)|=+∞.
• Horizontale y=L : lim f(x)=L en ±∞.
• Oblique y=ax+b : lim[f(x)−(ax+b)]=0 avec a=lim f(x)/x.
• Branche parabolique : f(x)/x→∞ mais f(x)/x²→k→direction y=kx².
f convexe sur I si f''≥0 sur I (courbe au-dessus de ses tangentes).
f concave sur I si f''≤0 sur I.
Point d'inflexion en a : f''(a)=0 et f'' change de signe en a (tangente traverse la courbe).
Centre de symétrie (a;b) : f(a+t)+f(a−t)=2b pour tout t.
f−g : signe → position relative. Tangente à f en a : y=f'(a)(x−a)+f(a).
Position de f par rapport à sa tangente : signe de f(x)−[f'(a)(x−a)+f(a)] → convexité.
f(x)=(x²+2x−1)/(x−1). (1) AV. (2) AO par division. (3) Position de f/AO.
(1) AV: x=1. (2) Div: x²+2x−1=(x−1)(x+3)+2. f=x+3+2/(x−1). AO: y=x+3. (3) f−(x+3)=2/(x−1)>0 si x>1, <0 si x<1. Courbe au-dessus de l'AO à droite.
f(x)=x·ln x (x>0). (1) f'(x). (2) f''(x). (3) Convexité. (4) Point d'inflexion ?
(1) f'=ln x+1. (2) f''=1/x>0. (3) Toujours convexe sur ]0;+∞[. (4) Pas de point d'inflexion (f'' ne change pas de signe).
f(x)=x³−3x²+3x (polynôme). Trouver un éventuel centre de symétrie.
f''=6x−6=0 → x=1. Point d'inflexion candidat (1;f(1))=(1;1). Vérifier: f(1+t)+f(1−t)=2f(1)=2? (1+t)³−3(1+t)²+3(1+t)+(1−t)³−3(1−t)²+3(1−t). Développer: les termes impairs s'annulent → f(1+t)+f(1−t)=2(1−3+3)=2 ✓. Centre de symétrie (1;1).
f(x)=eˣ/x (x≠0). (1) Limites en 0 et ±∞. (2) f'(x) et variations. (3) Asymptote ?
(1) x→0⁺: +∞. x→0⁻: −∞. x→+∞: +∞ (eˣ domine). x→−∞: 0 (eˣ→0, 1/x→0). (2) f'=(eˣ·x−eˣ)/x²=eˣ(x−1)/x². f'=0 en x=1 (min). f'<0 sur ]0;1[, f'>0 sur ]1;+∞[ et sur ]−∞;0[. Min: f(1)=e. (3) x→−∞: f→0, AH y=0.
f(x)=x·ln(1+1/x) pour x>0. (1) lim en +∞. (2) lim de f(x)−1 en +∞. (3) AO si elle existe.
(1) f(x)=x·ln(1+1/x). u=1/x→0: f=ln(1+u)/u→1. (2) f(x)−1=x·ln(1+1/x)−1. DL: x[1/x−1/(2x²)+...]=1−1/(2x)+... → f(x)−1≈−1/(2x)→0. Donc AH y=1. (3) La courbe s'approche asymptotiquement de y=1 par valeurs inférieures.
Étude complète de f(x)=(x²+1)·e^(−x) sur ℝ.
10 questions · Correction immédiate
AO y=ax+b : a=
Inflexion en a : condition nécessaire
f convexe sur I :
Centre de symétrie (a;b) : f(a+t)+f(a−t)=
f(x)=(x²+x)/(x−1) : AO obtenue par
f''(x)>0 : la courbe est au-dessus de
Branche parabolique : f(x)/x→
AV x=a :
Position de f / tangente en a : convexe → f est
f(x)=(x²+1)e^(−x). lim[x→+∞] f(x)=
