(1) AV: x=1. (2) Div: x²+2x−1=(x−1)(x+3)+2. f=x+3+2/(x−1). AO: y=x+3. (3) f−(x+3)=2/(x−1)>0 si x>1, <0 si x<1. Courbe au-dessus de l'AO à droite.

(1) f'=ln x+1. (2) f''=1/x>0. (3) Toujours convexe sur ]0;+∞[. (4) Pas de point d'inflexion (f'' ne change pas de signe).

f''=6x−6=0 → x=1. Point d'inflexion candidat (1;f(1))=(1;1). Vérifier: f(1+t)+f(1−t)=2f(1)=2? (1+t)³−3(1+t)²+3(1+t)+(1−t)³−3(1−t)²+3(1−t). Développer: les termes impairs s'annulent → f(1+t)+f(1−t)=2(1−3+3)=2 ✓. Centre de symétrie (1;1).

(1) x→0⁺: +∞. x→0⁻: −∞. x→+∞: +∞ (eˣ domine). x→−∞: 0 (eˣ→0, 1/x→0). (2) f'=(eˣ·x−eˣ)/x²=eˣ(x−1)/x². f'=0 en x=1 (min). f'<0 sur ]0;1[, f'>0 sur ]1;+∞[ et sur ]−∞;0[. Min: f(1)=e. (3) x→−∞: f→0, AH y=0.

(1) f(x)=x·ln(1+1/x). u=1/x→0: f=ln(1+u)/u→1. (2) f(x)−1=x·ln(1+1/x)−1. DL: x[1/x−1/(2x²)+...]=1−1/(2x)+... → f(x)−1≈−1/(2x)→0. Donc AH y=1. (3) La courbe s'approche asymptotiquement de y=1 par valeurs inférieures.

1. Ensemble de définition : ℝ\{1}. En 1⁻ : f→−∞ ; en 1⁺ : f→+∞ ; en ±∞ : f→2.
2. 2x+1=2(x−1)+3 donc f(x)=2+3/(x−1). Asymptote verticale x=1 ; asymptote horizontale y=2.
3. f'(x)=−3/(x−1)² < 0 sur tout le domaine : f est strictement décroissante sur ]−∞;1[ et sur ]1;+∞[.

1. x²−2x−3=(x−3)(x+1). Ensemble de définition : ℝ\{−1;3}.
2. x²+4x−3−(x²−2x−3)=6x, donc f(x)=1+6x/(x²−2x−3).
3. f'(x)=6·[(x²−2x−3)−x(2x−2)]/(x²−2x−3)²=−6(x²+3)/(x²−2x−3)². Comme x²+3>0, f'(x)<0 partout : f est strictement décroissante sur chacun des intervalles ]−∞;−1[, ]−1;3[, ]3;+∞[.
4. Asymptotes verticales x=−1 et x=3 (en −1⁻ : −∞, en −1⁺ : +∞ ; en 3⁻ : −∞, en 3⁺ : +∞) ; asymptote horizontale y=1 en ±∞.

1. Ensemble de définition : ℝ\{2}. Division : x²+x−2=(x−2)(x+3)+4, donc f(x)=x+3+4/(x−2). Asymptote oblique y=x+3 ; asymptote verticale x=2.
2. f(x)−(x+3)=4/(x−2) : positif pour x>2 (courbe au-dessus), négatif pour x<2 (courbe en dessous).
3. f'(x)=1−4/(x−2)²=x(x−4)/(x−2)². f'=0 en x=0 et x=4. f'>0 hors de [0;4], f'<0 sur ]0;2[∪]2;4[. Maximum local f(0)=1, minimum local f(4)=9. f croissante sur ]−∞;0], décroissante sur [0;2[ et ]2;4], croissante sur [4;+∞[.

1. Ensemble de définition : ℝ\{2}. (x−2)(2x+1)=2x²−3x−2, donc f(x)=2x+1+8/(x−2). Asymptote oblique y=2x+1 ; asymptote verticale x=2.
2. f(x)−(2x+1)=8/(x−2) : positif si x>2 (au-dessus), négatif si x<2 (en dessous).
3. f'(x)=2−8/(x−2)²=2x(x−4)/(x−2)². f'=0 en x=0 et x=4. Maximum local f(0)=−3, minimum local f(4)=13. f croissante sur ]−∞;0], décroissante sur [0;2[ et ]2;4], croissante sur [4;+∞[.

1. f(−x)=2(−x)³/(x²+1)=−2x³/(x²+1)=−f(x) : f est impaire, courbe symétrique par rapport à O.
2. 2x³=2x(x²+1)−2x donc f(x)=2x−2x/(x²+1). Asymptote oblique y=2x. f(x)−2x=−2x/(x²+1) : positif pour x<0 (au-dessus), négatif pour x>0 (en dessous), courbe traverse l'asymptote en x=0.
3. f'(x)=[6x²(x²+1)−2x³·2x]/(x²+1)²=2x²(x²+3)/(x²+1)² ≥0, nulle seulement en x=0. f est strictement croissante sur ℝ (pas d'extremum, tangente horizontale au point d'inflexion (0;0)).

1. f est paire (f(−x)=f(x)). Pour x<−1 : f=x²−2x−4. Pour −1≤x<0 : f=−x²−2x−2. Pour 0≤x<1 : f=−x²+2x−2. Pour x≥1 : f=x²+2x−4.
2. Les quatre expressions coïncident aux jonctions (f continue sur ℝ). Dérivées à gauche/droite : en −1, −4 puis 0 (point anguleux) ; en 0, −2 puis 2 (point anguleux) ; en 1, 0 puis 4 (point anguleux). f n'est dérivable en aucun de ces trois points.
3. f'<0 sur ]−∞;0[, f'>0 sur ]0;+∞[ (calcul par morceaux) : f décroît sur ]−∞;0], minimum f(0)=−2, puis croît sur [0;+∞[, avec f(−1)=f(1)=−1 (cohérent avec la parité). Courbe en forme de « cuvette » symétrique par rapport à (OJ), tendant vers +∞ en ±∞.

1. |x|+1≥1>0 donc Df=ℝ. Pour x≤−1 : f(x)=−x−2−3/(x−1) (asymptote oblique y=−x−2 en −∞). Pour −1<x<0 : f(x)=x+2+1/(x−1). Pour x≥0 : f(x)=x+2+1/(x+1)−1=x+1/(x+1) (asymptote oblique y=x en +∞). Les trois expressions se raccordent : f(−1)=1/2, f(0)=1.
2. En −1 : dérivée à gauche −1+3/(x−1)²→−0,25, dérivée à droite 1−1/(x−1)²→0,75 : point anguleux, f non dérivable. En 0 : dérivée à gauche 1−1/(x−1)²→0, dérivée à droite 1−1/(x+1)²→0 : les deux coïncident, f est dérivable en 0 avec f'(0)=0.
3. f est décroissante sur ]−∞;−1] (f'<0), puis croissante sur [−1;+∞[ (f'≥0, nulle seulement en 0) : minimum global f(−1)=1/2. Asymptote oblique y=−x−2 en −∞, asymptote oblique y=x en +∞ (pas d'asymptote verticale).

1. Il faut x(6−x)≥0, soit Df=[0;6].
2. Posons g(x)=8x−(4/3)x², g'(x)=8−(8/3)x. Pour x∈]0;6[, f'(x)=g'(x)/(2√g(x)), f dérivable. Au voisinage de 0, g(x)≈8x donc f(x)≈√(8x) : f'(x)→+∞ (tangente verticale en 0). Au voisinage de 6, en posant x=6−t, g(x)≈8t donc f'(x)→−∞ (tangente verticale en 6). f n'est donc pas dérivable en 0 et 6, mais admet des demi-tangentes verticales.
3. g'(x)=0 en x=3. f croît sur [0;3] de 0 à f(3)=2√3, décroît sur [3;6] de 2√3 à 0. Comme g(3+t)=g(3−t) (développement symétrique autour de 3), f(3+t)=f(3−t) : la droite x=3 est axe de symétrie. La courbe est le demi-arc supérieur d'une ellipse.

1. Il faut (x−2)/(x+1)≥0 et x≠−1 : Df=]−∞;−1[∪[2;+∞[.
2. Posons g(x)=(x−2)/(x+1), g'(x)=3/(x+1)². Pour x≠2, f'(x)=g'(x)/(2√g(x)). Au voisinage de 2⁺, g(x)≈(x−2)/3 donc f(x)≈√((x−2)/3) : f'(x)→+∞, la tangente en x=2 (bord du domaine) est verticale, donc parallèle à (OJ).
3. f'(x) est du signe de g'(x)>0 : f est strictement croissante sur ]−∞;−1[ (de 1 exclu à +∞) et sur [2;+∞[ (de 0 à 1 exclu). En −1⁻, g→+∞ donc f→+∞ : asymptote verticale x=−1. En ±∞, g(x)→1 donc f(x)→1 : asymptote horizontale y=1 (approchée par valeurs inférieures sur [2;+∞[).

1. x²−6x+5=(x−1)(x−5), positif hors de [1;5]. Donc f(x)=√(x²−6x+5) si x≤1 ou x≥5, et f(x)=√(−x²+6x−5) si 1<x<5.
2. f est continue sur ℝ. En 1, dérivée à gauche (x−3)/√(x²−6x+5)→−∞, dérivée à droite (3−x)/√(−x²+6x−5)→+∞ : point de rebroussement, demi-tangentes verticales, pas de tangente ordinaire. Même phénomène en 5 (dérivée à gauche →−∞, à droite →+∞).
3. Sur ]−∞;1], f'<0 : f décroît de +∞ à 0. Sur [1;3], f'>0 : f croît de 0 à f(3)=2 (maximum local). Sur [3;5], f'<0 : f décroît de 2 à 0. Sur [5;+∞[, f'>0 : f croît de 0 à +∞.
4. En +∞ : x²−6x+5=x²(1−6/x+5/x²), f(x)=x√(1−6/x+…)≈x(1−3/x)=x−3+o(1), donc f(x)−(x−3)→0 : asymptote y=x−3. En −∞ : f(x)=−x√(1−6/x+…)≈−x+3+o(1) : asymptote y=−x+3.
5. En posant t=x−3, x²−6x+5=t²−4, donc f(3+t)=√|t²−4|=f(3−t) : la droite x=3 est axe de symétrie. Sur [1;5] (t∈[−2;2]), f(x)=√(4−t²), donc (x−3)²+f(x)²=4 : la distance ΩM vaut 2 (constante). (𝒞) est donc, sur [1;5], le demi-cercle supérieur de centre Ω(3;0) et de rayon 2.

1. x³/(x−1)≥0 et x≠1 : le signe est positif pour x<0, nul en x=0, positif pour x>1. Df=]−∞;0]∪]1;+∞[.
2. Posons g(x)=x³/(x−1), g'(x)=x²(2x−3)/(x−1)². Au voisinage de 0⁻, g(x)≈−x³=(−x)³>0, donc f(x)≈(−x)^(3/2) et f'(x)=−(3/2)√(−x)→0 : demi-tangente horizontale (parallèle à (OI)) en x=0.
3. Sur ]−∞;0[, g'(x)<0 donc f décroît de +∞ à 0. Sur ]1;3/2], f décroît de +∞ à f(3/2)=3√3/2 (minimum local). Sur [3/2;+∞[, f croît de 3√3/2 à +∞.
4. Division : x³=(x−1)(x²+x+1)+1, donc g(x)=x²+x+1+1/(x−1). En x→1⁺, g→+∞ : asymptote verticale x=1. En x→+∞, x²+x+1=(x+1/2)²+3/4, donc f(x)≈(x+1/2)+o(1) : asymptote oblique y=x+1/2. En x→−∞, f(x)≈|x+1/2|=−x−1/2+o(1) : asymptote oblique y=−x−1/2. (𝒞) admet donc bien trois asymptotes.

1. Notons n=E(x), r=x−E(x)∈[0;1[, donc f(x)=n+r². Alors E(x+1)=n+1 et x+1−E(x+1)=r, donc f(x+1)=n+1+r²=f(x)+1. Graphiquement, (𝒞) se déduit d'elle-même par la translation de vecteur (1;1) : le motif tracé sur [0;1[ se répète, décalé de (k;k) pour tout entier k.
2. Sur chaque intervalle [n;n+1[, f(x)=n+(x−n)², arc de parabole (translatée de y=x²) croissant de n (en x=n) vers n+1 (limite en (n+1)⁻, qui coïncide avec la valeur n+1 du morceau suivant) : f est continue sur ℝ. Mais la dérivée à gauche en n+1 vaut 2 et la dérivée à droite vaut 0 : f n'est pas dérivable aux entiers (points anguleux). f est strictement croissante sur ℝ (chaque arc croît, les raccords sont continus). Sur [−3;3] : arcs y=(x+3)²−3 sur [−3;−2[, y=(x+2)²−2 sur [−2;−1[, y=(x+1)²−1 sur [−1;0[, y=x² sur [0;1[, y=(x−1)²+1 sur [1;2[, y=(x−2)²+2 sur [2;3[, et f(3)=3.

1. Df=[−1;+∞[. f'(x)=√(x+1)+x/(2√(x+1))=(3x+2)/(2√(x+1)) pour x>−1.
2. En −1, f'(x)→−∞ : demi-tangente verticale. f'(x)=0 en x=−2/3 : f décroît sur [−1;−2/3] de f(−1)=0 à f(−2/3)=−2√3/9 (minimum), puis croît sur [−2/3;+∞[ vers +∞ (branche parabolique, f(x)/x→+∞).
3. Pour x≥−1, f(x)²=x²(x+1)=x³+x². Comme y=√(x³+x²)=|f(x)|, cette courbe est obtenue en réfléchissant au-dessus de (OI) la partie de (𝒞) où f est négative (x∈[−1;0]) et en conservant la partie où f≥0 (x≥0). La courbe complète y²=x³+x² est la réunion de (𝒞) et de son symétrique par rapport à (OI) (puisque (x;y) solution ⟺ (x;−y) solution).

1. En 0⁺, l'argument (π/2)(x−1)→−π/2⁺, donc f→−∞ ; en 2⁻, l'argument →π/2⁻, donc f→+∞. f'(x)=(π/2)[1+f(x)²]>0 : f strictement croissante sur ]0;2[, de −∞ à +∞. Asymptotes verticales x=0 et x=2 ; centre de symétrie (1;0) car f(2−x)=−f(x).
2. f est continue et strictement croissante de ]0;2[ sur ℝ : c'est une bijection. Par dérivation de la réciproque, g'(y)=1/f'(g(y))=1/{(π/2)[1+f(g(y))²]}=1/[(π/2)(1+y²)]=2/[π(1+y²)].
3. h est définie sur ℝ*. h'(x)=g'(x)−g'(1/x)/x²=2/[π(1+x²)]−(2/[π(1+1/x²)])·(1/x²)=2/[π(1+x²)]−2/[π(x²+1)]=0 : h est constante sur chaque intervalle ]−∞;0[ et ]0;+∞[. Comme g(1)=3/2 (car f(3/2)=tan(π/4)=1) : pour x>0, h(x)=h(1)=2g(1)=3. Comme g(−1)=1/2 (car f(1/2)=tan(−π/4)=−1) : pour x<0, h(x)=h(−1)=2g(−1)=1.

1. Df=ℝ. f(x)=x+√(x²−1) si |x|≥1, f(x)=x+√(1−x²) si −1<x<1 ; f continue sur ℝ. En x=1 : dérivée à gauche →−∞, à droite →+∞ ; en x=−1 : dérivée à gauche →−∞, à droite →+∞. f n'est dérivable ni en −1 ni en 1 (points de rebroussement, demi-tangentes verticales, pas de tangente ordinaire).
2. En −∞ : f(x)=x+√(x²−1)≈x+(−x)(1−1/(2x²))=1/(2x)+o(1/x)→0 : asymptote horizontale y=0. En +∞ : f(x)≈x+x(1−1/(2x²))=2x−1/(2x)+o(1/x) : asymptote oblique y=2x.
3. Sur ]−∞;−1], f'(x)=1+x/√(x²−1)<0 : f décroît vers f(−1)=−1 (minimum local). Sur [−1;1/√2], f croît vers f(1/√2)=√2 (maximum local, obtenu en résolvant 1−x/√(1−x²)=0). Sur [1/√2;1], f décroît vers f(1)=1 (minimum local). Sur [1;+∞[, f'(x)=1+x/√(x²−1)>1>0 : f croît vers +∞.
4. g(−x)=−x−√|x²−1|=−f(x) : donc si M(x;f(x))∈(𝒞_f), alors M'(−x;−f(x))∈(𝒞_g), ce qui exprime exactement la symétrie de (𝒞_f) et (𝒞_g) par rapport à l'origine O.