Ch. 20 Statistiques à deux variables — inertie du nuage — Terminale C Maths

1. Nuage de points et inertie

Point moyen et inertie

G=(x̄;ȳ) point moyen. Inertie : I_G=(1/n)Σ‖MᵢG‖²=V(X)+V(Y).

V(X)=Σxᵢ²/n−x̄². cov(X,Y)=Σxᵢyᵢ/n−x̄ȳ.

2. Huygens et droite de régression

Décomposition et moindres carrés

Huygens : I_A=I_G+GA². Minimum en G.

Droite y/x : a=cov/V(X), b=ȳ−ax̄. Passe par G.

r=cov/(σₓσᵧ)∈[−1;1]. r²= part de variance expliquée.

À retenir

I_G=V(X)+V(Y) ; I_A=I_G+GA²
a=cov/V(X) ; r=cov/(σₓσᵧ)
r²=part de variance expliquée

Point moyen et inertie

● Facile

5 points : (1;3),(2;5),(3;4),(4;7),(5;6). G, V(X), V(Y), I_G.

Correction

x̄=3, ȳ=5. V(X)=2, V(Y)=2. I_G=4.

Droite de régression

● Moyen

Mêmes données. cov(X,Y), droite y/x, prévision x=6.

Correction

cov=1,6. a=0,8. b=2,6. y=0,8x+2,6. y(6)=7,4.

Coefficient r

● Moyen

cov=1,7, σX=√2, σY=√2,16. Calculer r.

Correction

r=1,7/(√2·√2,16)≈0,82. Corrélation modérément forte.

Huygens

● Moyen

I_G=4, G=(3;5), A=(0;0). Calculer I_A par Huygens.

Correction

GA²=9+25=34. I_A=4+34=38.

Deux droites de régression

● Difficile

r=0,8, σX=3, σY=2. Pentes y/x et x/y. Produit des pentes.

Correction

a_yx=r·σY/σX=8/15. a_xy=r·σX/σY=6/5. Produit des pentes=r²=0,64.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

8 élèves : notes Maths x et Physique y: (8;7),(10;9),(12;11),(14;13),(9;8),(11;10),(13;12),(15;14).

Observer: y=x−1 ? Prédire r.
G=(x̄;ȳ).
cov, V(X), V(Y).
Droite y/x.
r. Interpréter.
Prévision x=16. Résidu si réel=14.

Correction

y=x−1 : r=1 attendu.
x̄=92/8=11,5. ȳ=84/8=10,5.
Σxᵢyᵢ/8=126. cov=5,25. V(X)=V(Y)=5,25.
a=1, b=−1. y=x−1.
r=1. Corrélation parfaite.
ŷ(16)=15. Résidu=14−15=−1. Légère surestimation.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

I_G=

Q2/10

I_A=

Q3/10

a (pente y/x)=

Q4/10

r∈

Q5/10

Produit des pentes des 2 droites=

Q6/10

La droite de régression passe par

Q7/10

cov=

Q8/10

r=1 ↔

Q9/10

I_G minimale par rapport à

Q10/10

r²=

Moyennes et variances

● Facile

Une bibliothèque scolaire a relevé, sur 5 mois, le nombre de nouveaux livres achetés x (en dizaines) et le nombre d'emprunts y (en centaines) :

x	2	3	4	5	6
y	5	6	8	9	12

Calculer x̄ et ȳ.
Calculer V(X) et V(Y).
En déduire σ(X) et σ(Y).

Correction

1. x̄=(2+3+4+5+6)/5=20/5=4. ȳ=(5+6+8+9+12)/5=40/5=8.

2. Σxᵢ²=4+9+16+25+36=90, donc V(X)=90/5−4²=18−16=2. Σyᵢ²=25+36+64+81+144=350, donc V(Y)=350/5−8²=70−64=6.

3. σ(X)=√2≈1,41. σ(Y)=√6≈2,45.

Covariance et signe de la liaison

● Facile

Cinq librairies affichent un prix x (en milliers FCFA) pour un manuel et une quantité vendue y (en dizaines) :

x	5	8	10	12	15
y	20	16	14	10	5

Calculer x̄ et ȳ.
Calculer cov(X,Y).
Interpréter le signe de cov(X,Y).

Correction

1. x̄=(5+8+10+12+15)/5=50/5=10. ȳ=(20+16+14+10+5)/5=65/5=13.

2. Σxᵢyᵢ=5×20+8×16+10×14+12×10+15×5=100+128+140+120+75=563. cov(X,Y)=563/5−10×13=112,6−130=−17,4.

3. cov(X,Y)<0 : quand le prix augmente, la quantité vendue diminue — liaison négative, cohérente avec la loi de la demande.

Droite de régression par la méthode de Mayer

● Moyen

Un nuage de 6 points : x:1,2,3,4,5,6 et y:3,5,4,7,9,8. On partage le nuage en deux groupes de même effectif (les 3 premiers points, puis les 3 derniers).

Calculer les points moyens G1 (premier groupe) et G2 (second groupe).
Déterminer une équation de la droite (D): y=ax+b passant par G1 et G2 (méthode de Mayer).
Vérifier que (D) passe approximativement par le point moyen G du nuage entier.

Correction

G1=((1+2+3)/3;(3+5+4)/3)=(2;4). G2=((4+5+6)/3;(7+9+8)/3)=(5;8).
a=(8−4)/(5−2)=4/3≈1,33. Avec G1 : 4=1,33×2+b → b=4−2,67=1,33. (D): y≈1,33x+1,33.
x̄=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5. ȳ=(3+5+4+7+9+8)/6=36/6=6. y(3,5)=1,33×3,5+1,33≈6,0. La droite (D) passe bien, quasi exactement, par G=(3,5;6).

Calculer le coefficient de corrélation

● Moyen

Pour 5 élèves, temps de révision x (heures) et note y (sur 20) :

x	1	2	3	4	5
y	8	10	12	15	15

Calculer x̄ et ȳ.
Calculer V(X) et V(Y).
Calculer cov(X,Y).
Calculer r et interpréter.

Correction

x̄=15/5=3. ȳ=60/5=12.
Σx²=1+4+9+16+25=55, V(X)=55/5−9=11−9=2. Σy²=64+100+144+225+225=758, V(Y)=758/5−144=151,6−144=7,6.
Σxy=8+20+36+60+75=199. cov=199/5−36=39,8−36=3,8.
r=3,8/(√2×√7,6)=3,8/3,90≈0,975. Corrélation linéaire positive très forte : plus le temps de révision augmente, plus la note augmente.

Étude complète : chiffre d'affaires d'une librairie

● Moyen

Une librairie relève son chiffre d'affaires annuel y (en millions FCFA) depuis 2021 (x=rang de l'année, x=1 pour 2021, ..., x=5 pour 2025) :

x	1	2	3	4	5
y	12	14	15	19	20

Calculer x̄ et ȳ.
Calculer V(X), V(Y) et cov(X,Y).
Déterminer l'équation de la droite de régression de y en x (moindres carrés).
Calculer r et interpréter.
Prévoir le chiffre d'affaires en 2026 (x=6).

Correction

x̄=15/5=3. ȳ=80/5=16.
Σx²=55, V(X)=55/5−9=2. Σy²=144+196+225+361+400=1326, V(Y)=1326/5−256=265,2−256=9,2. Σxy=12+28+45+76+100=261, cov=261/5−48=52,2−48=4,2.
a=cov/V(X)=4,2/2=2,1. b=ȳ−ax̄=16−2,1×3=16−6,3=9,7. (D): y=2,1x+9,7.
r=4,2/(√2×√9,2)=4,2/4,29≈0,979. Corrélation très forte.
Prévision 2026 (x=6) : y=2,1×6+9,7=12,6+9,7=22,3 millions FCFA.

Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

● Moyen

Le nombre d'abonnés à une plateforme numérique scolaire (y, en centaines) est relevé chaque mois (x, rang de 1 à 6) :

x	1	2	3	4	5	6
y	4	7	9	13	15	18

Calculer x̄, ȳ, Σxᵢ² et Σxᵢyᵢ.
En déduire V(X) et cov(X,Y), puis les coefficients a et b de la droite de régression de y en x (a=cov(X,Y)/V(X), b=ȳ−ax̄).
Calculer V(Y) et r ; commenter la qualité de l'ajustement.
Prévoir le nombre d'abonnés au mois 8.

Correction

x̄=21/6=3,5. ȳ=66/6=11. Σx²=1+4+9+16+25+36=91. Σxy=1×4+2×7+3×9+4×13+5×15+6×18=4+14+27+52+75+108=280.
V(X)=91/6−3,5²≈15,17−12,25=2,92. cov=280/6−3,5×11≈46,67−38,5=8,17. a=8,17/2,92≈2,8. b=11−2,8×3,5=11−9,8=1,2. (D): y=2,8x+1,2.
Σy²=16+49+81+169+225+324=864, V(Y)=864/6−121=144−121=23. r=8,17/(√2,92×√23)=8,17/8,19≈0,997. Ajustement d'excellente qualité.
Mois 8 : y=2,8×8+1,2=22,4+1,2=23,6 (centaines), soit environ 2360 abonnés.

Interpréter le coefficient de corrélation

● Moyen

Dans un lycée, on a calculé le coefficient de corrélation linéaire pour plusieurs couples de variables :

Nombre d'heures d'étude / note obtenue : r=0,89
Taille des élèves (cm) / note en mathématiques : r=0,05
Nombre d'absences / moyenne générale : r=−0,76
Numéro de la classe (1 à 5, attribué au hasard) / note moyenne de la classe : r=0,15

a) Pour chaque couple, préciser si la corrélation linéaire est forte, faible, positive ou négative.

b) Calculer r² pour les couples 1) et 3), et interpréter comme part de variance expliquée.

c) Peut-on conclure à un lien de cause à effet dans chaque cas ? Justifier.

Correction

a) 1) forte, positive. 2) quasi nulle (pas de liaison linéaire). 3) assez forte, négative. 4) faible, positive.

b) 1) r²=0,89²=0,7921≈0,79 → 79% de la variance de la note est expliquée par le temps d'étude. 3) r²=(−0,76)²=0,5776≈0,58 → 58% de la variance de la moyenne est expliquée par le nombre d'absences.

c) Une forte corrélation (cas 1 et 3) suggère une liaison mais ne prouve pas la causalité à elle seule (facteurs cachés possibles). Le cas 2 montre l'absence de lien. Le cas 4 montre qu'une variable arbitraire (numéro de classe) peut présenter une faible corrélation due au hasard, sans aucun sens causal — corrélation n'implique jamais causalité.

Linéarisation d'un ajustement exponentiel

● Difficile

On étudie l'évolution d'une population de bactéries en laboratoire (effectif y, en milliers) mesurée toutes les heures (x) :

x	0	1	2	3	4
y	5,0	6,7	9,1	12,3	16,6

On suppose un ajustement du type y=a·e^(bx) avec a>0.

On pose z=ln y. Calculer les valeurs de z (arrondir à 10⁻³).
Calculer les coefficients de la droite de régression de z en x.
En déduire a et b (arrondir à 10⁻²), puis écrire y en fonction de x.
Estimer l'effectif au bout de 5 heures.

Correction

z=ln y : 1,609 ; 1,902 ; 2,208 ; 2,510 ; 2,809.
x̄=2, z̄=(1,609+1,902+2,208+2,510+2,809)/5=11,038/5≈2,208. Σx²=0+1+4+9+16=30, V(X)=30/5−4=2. Σxz=0+1,902+4,416+7,530+11,236=25,084, cov(x,z)=25,084/5−2×2,208≈5,017−4,416=0,60. b=cov/V(X)=0,60/2=0,30.
ln a=z̄−b×x̄=2,208−0,30×2=2,208−0,60=1,608 → a=e^1,608≈4,99≈5,00. Donc y≈5e^(0,3x).
y(5)=5×e^(0,3×5)=5×e^1,5≈5×4,48≈22,4 milliers de bactéries.

Comparer deux séries et théorème de Huygens

● Difficile

Dans deux classes A et B, on relève le temps de révision x (heures) et la note y (sur 20) de 5 élèves :

x (A et B)	2	4	6	8	10
y classe A	10	13	15	19	20
y classe B	8	16	11	18	14

Calculer r_A (classe A) et r_B (classe B). Quelle classe présente la liaison la plus linéaire ?
Pour la classe A, calculer le point moyen G_A et l'inertie I_G.
Par le théorème de Huygens, calculer l'inertie du nuage de la classe A par rapport à O(0;0).

Correction

Classe A : x̄=6, V(X)=8, ȳ=15,4, V(Y)=13,84, cov=10,4. r_A=10,4/√(8×13,84)=10,4/10,52≈0,988. Classe B : ȳ=13,4, V(Y)=12,64, cov=5,6. r_B=5,6/√(8×12,64)=5,6/10,06≈0,557. La classe A a une liaison beaucoup plus forte : la note y dépend presque linéairement du temps de révision.
G_A=(6;15,4). I_G=V(X)+V(Y)=8+13,84=21,84.
GO²=6²+15,4²=36+237,16=273,16. I_O=I_G+GO²=21,84+273,16=295.

Étude complète : consommation de carburant

● Difficile

Pour 6 véhicules, distance hebdomadaire x (centaines de km) et consommation y (litres) :

x	2	4	5	7	8	10
y	18	29	35	45	52	61

Calculer x̄, ȳ, V(X), V(Y), cov(X,Y).
Déterminer l'équation de la droite de régression de y en x.
Calculer r et commenter la qualité de l'ajustement.
Calculer l'inertie I_G du nuage.
Prévoir la consommation pour 1200 km (x=12), et discuter la fiabilité de cette prévision.
Calculer le résidu pour le véhicule ayant parcouru 700 km (x=7, consommation réelle 45 L).

Correction

x̄=36/6=6, ȳ=240/6=40. Σx²=258, V(X)=258/6−36=43−36=7. Σy²=10840, V(Y)=10840/6−1600≈1806,67−1600=206,67. Σxy=1668, cov=1668/6−240=278−240=38.
a=38/7≈5,43. b=40−5,43×6=40−32,57≈7,43. (D): y≈5,43x+7,43.
r=38/√(7×206,67)=38/38,03≈0,999. Ajustement quasi parfait.
I_G=V(X)+V(Y)=7+206,67=213,67.
y(12)=5,43×12+7,43≈65,14+7,43≈72,6 L. Prévision raisonnable car x=12 reste proche de la plage observée (2 à 10).
ŷ(7)=5,43×7+7,43≈38,0+7,43≈45,43. Résidu=45−45,43≈−0,43 L (très faible écart, bon ajustement).

Ventes de manuels scolaires (2020–2026)

● Difficile

Une librairie scolaire relève le nombre de manuels vendus chaque année (y, en centaines), depuis 2020 (x=rang de l'année, x=1 pour 2020, ..., x=7 pour 2026) :

x	1	2	3	4	5	6	7
y	8	10	11	14	16	18	21

Calculer x̄, ȳ, V(X), V(Y) et cov(X,Y).
Déterminer l'équation de la droite de régression de y en x.
Calculer r et r² ; commenter.
Estimer le nombre de manuels vendus en 2030 (x=11).
Cette prévision pour 2030 vous paraît-elle fiable ? Justifier.

Correction

x̄=28/7=4, ȳ=98/7=14. Σx²=140, V(X)=140/7−16=20−16=4. Σy²=1502, V(Y)=1502/7−196≈214,57−196=18,57. Σxy=452, cov=452/7−56≈64,57−56=8,57.
a=8,57/4≈2,14. b=14−2,14×4=14−8,57≈5,43. (D): y≈2,14x+5,43.
r=8,57/√(4×18,57)=8,57/8,62≈0,994. r²≈0,988, soit 98,8% de la variance des ventes expliquée par l'année. Ajustement excellent.
y(11)=2,14×11+5,43≈23,57+5,43≈29 (centaines), soit environ 2900 manuels vendus.
Non, la prévision est fragile : x=11 est très éloigné de la plage observée (x=1 à 7), et rien ne garantit que la tendance se maintienne sur le long terme (nouveaux concurrents, développement du numérique, évolution des effectifs scolaires...). L'extrapolation doit rester prudente.

Comparer un ajustement linéaire et un ajustement exponentiel

● Difficile

Le nombre d'utilisateurs inscrits sur la plateforme numérique d'un lycée est relevé chaque mois (y, en dizaines) :

x (mois)	1	2	3	4	5	6
y	3	5	8	14	23	37

Calculer r pour l'ajustement affine direct de y en x. La croissance semble-t-elle linéaire ?
On pose z=ln y. Calculer r pour l'ajustement affine de z en x.
Comparer les deux valeurs de r et choisir le modèle le plus adapté.
Déterminer les paramètres a et b du modèle retenu y=a·e^(bx) (arrondir à 10⁻²).
Estimer le nombre d'inscrits au mois 8 avec ce modèle. Que donnerait le modèle linéaire à la même date ? Conclure.

Correction

x̄=3,5, Σx²=91, V(X)=91/6−12,25≈2,92. ȳ=15, Σy²=2192, V(Y)=2192/6−225≈140,33. Σxy=430, cov=430/6−52,5≈71,67−52,5=19,17. r=19,17/√(2,92×140,33)=19,17/20,23≈0,947. La croissance n'est pas franchement linéaire (r fort mais pas excellent).
z=ln y : 1,099 ; 1,609 ; 2,079 ; 2,639 ; 3,136 ; 3,611. z̄≈2,362. cov(x,z)≈1,47. V(z)≈0,746. r=1,47/√(2,92×0,746)=1,47/1,48≈0,9998.
r(z,x)≈0,9998 est bien meilleur que r(y,x)≈0,947 : le modèle exponentiel est beaucoup mieux adapté que le modèle affine direct.
b=cov(x,z)/V(X)≈1,47/2,92≈0,51. ln a=z̄−b×x̄≈2,362−0,51×3,5≈0,59 → a=e^0,59≈1,81. Modèle : y≈1,81e^(0,51x).
Mois 8 (modèle exponentiel) : y≈1,81×e^(0,51×8)=1,81×e^4,08≈1,81×59,1≈107 (dizaines), soit environ 1070 inscrits. Modèle affine direct : a≈6,57, b≈15−6,57×3,5≈−8,0, y(8)≈6,57×8−8≈44,6 (dizaines), soit environ 446 inscrits. Les deux modèles donnent des résultats très différents (1070 contre 446) : le choix du modèle, guidé par le coefficient de corrélation, est déterminant pour la fiabilité d'une prévision.

Croissance démographique et limites d'un modèle

● Difficile

Le recensement d'une ville donne la population y (en milliers d'habitants) tous les 5 ans depuis 2005 (x=rang de la période, x=0 pour 2005, x=1 pour 2010, etc.) :

x	0	1	2	3	4
y	120	145	175	210	255

On admet un ajustement exponentiel y=a·e^(bx).

Poser z=ln y et calculer les valeurs de z (arrondir à 10⁻³).
Déterminer les coefficients a et b du modèle.
Calculer le coefficient de corrélation r pour l'ajustement de z en x et commenter.
Estimer la population en 2030 (x=5).
Que donnerait le modèle pour 2050 (x=9) ? Ce résultat vous semble-t-il réaliste ? Discuter la pertinence du modèle sur le long terme.

Correction

z=ln y : 4,788 ; 4,977 ; 5,165 ; 5,347 ; 5,541.
x̄=2, z̄≈5,163. Σx²=30, V(X)=30/5−4=2. Σxz≈53,513, cov(x,z)=53,513/5−2×5,163≈10,703−10,327=0,376. b=cov/V(X)=0,376/2=0,188. ln a=z̄−b×x̄=5,163−0,376=4,788 → a=e^4,788≈120. Modèle : y≈120e^(0,188x).
V(z)≈0,071. r=0,376/√(2×0,071)=0,376/0,377≈0,997. La liaison est quasi parfaite : le modèle exponentiel décrit très bien l'évolution observée entre 2005 et 2025.
y(5)=120×e^(0,188×5)=120×e^0,94≈120×2,56≈307 milliers d'habitants en 2030.
y(9)=120×e^(0,188×9)=120×e^1,692≈120×5,43≈652 milliers d'habitants en 2050. Ce résultat est peu réaliste à prendre tel quel : le modèle suppose un taux de croissance exponentiel constant indéfiniment, ce qui ignore les limites réelles (ressources, urbanisation, politiques migratoires, saturation des infrastructures...). L'extrapolation à x=9, bien au-delà de la plage observée (x=0 à 4), doit être interprétée avec beaucoup de prudence : le modèle est fiable à court terme (2030) mais discutable à long terme (2050).

Coûts de production : méthode de Mayer et moindres carrés

● Difficile

Un atelier de fabrication de manuels relève le coût total de production y (millions FCFA) selon le nombre d'exemplaires produits x (milliers) :

x	1	2	3	4	5	6
y	5	8	9	13	14	17

Méthode de Mayer : partager le nuage en deux groupes de 3 points, calculer G1 et G2, puis l'équation de la droite (D1) passant par G1 et G2.
Méthode des moindres carrés : calculer x̄, ȳ, V(X), V(Y), cov(X,Y), puis l'équation de la droite (D2).
Comparer (D1) et (D2). Laquelle est théoriquement la plus précise ? Pourquoi ?
Calculer r. L'ajustement affine est-il justifié ?
Estimer le coût de production de 8000 exemplaires (x=8) avec (D1) puis avec (D2). Comparer.

Correction

G1=((1+2+3)/3;(5+8+9)/3)=(2;7,33). G2=((4+5+6)/3;(13+14+17)/3)=(5;14,67). a1=(14,67−7,33)/(5−2)=7,33/3≈2,44. b1=7,33−2,44×2≈2,44. (D1): y≈2,44x+2,44.
x̄=21/6=3,5, ȳ=66/6=11. Σx²=91, V(X)=91/6−12,25≈2,92. Σy²=824, V(Y)=824/6−121≈137,33−121=16,33. Σxy=272, cov=272/6−38,5≈45,33−38,5=6,83. a2=6,83/2,92≈2,34. b2=11−2,34×3,5≈11−8,2=2,8. (D2): y≈2,34x+2,8.
Les deux pentes sont proches (2,44 et 2,34) mais (D2), obtenue par les moindres carrés, est théoriquement la plus précise car elle minimise la somme des carrés des écarts (résidus) sur l'ensemble des points, contrairement à (D1) qui n'utilise que deux points moyens.
r=6,83/√(2,92×16,33)=6,83/6,90≈0,990. La corrélation est très forte : l'ajustement affine est bien justifié.
Avec (D1) : y(8)≈2,44×8+2,44=19,56+2,44≈22,0 millions FCFA. Avec (D2) : y(8)≈2,34×8+2,8=18,74+2,8≈21,5 millions FCFA. Les deux prévisions restent proches (écart d'environ 0,5 million), ce qui confirme la cohérence des deux méthodes ; la méthode des moindres carrés reste néanmoins la référence.

Synthèse : ventes de bouteilles d'eau selon la température

● Difficile

Un marchand ambulant relève, pour 6 jours, la température moyenne x (°C) et le nombre de bouteilles d'eau vendues y :

x	24	26	28	30	32	34
y	30	38	45	52	61	68

Calculer x̄, ȳ, V(X), V(Y), cov(X,Y).
Déterminer l'équation de la droite de régression de y en x.
Calculer r et interpréter la qualité de l'ajustement.
Estimer les ventes pour une température de 36°C.
Que donnerait le modèle pour x=15°C ? Commenter ce résultat.
Calculer l'inertie I_G du nuage, puis l'inertie par rapport au point A(20;20) (théorème de Huygens).

Correction

x̄=174/6=29, ȳ=294/6=49. Σx²=5116, V(X)=5116/6−841≈852,67−841=11,67. Σy²=15418, V(Y)=15418/6−2401≈2569,67−2401=168,67. Σxy=8792, cov=8792/6−1421≈1465,33−1421=44,33.
a=44,33/11,67≈3,80. b=49−3,80×29=49−110,2=−61,2. (D): y≈3,80x−61,2.
r=44,33/√(11,67×168,67)=44,33/44,36≈0,999. Ajustement quasi parfait : la vente de bouteilles d'eau dépend presque exclusivement, de façon linéaire, de la température.
y(36)=3,80×36−61,2=136,8−61,2=75,6, soit environ 76 bouteilles.
y(15)=3,80×15−61,2=57−61,2=−4,2. Ce résultat, négatif, est absurde (une vente ne peut être négative) : le modèle n'est valable que dans la plage de températures observée (24°C à 34°C environ) ; l'extrapoler à x=15°C, bien en dehors de cette plage, n'a pas de sens.
I_G=V(X)+V(Y)=11,67+168,67=180,33. Théorème de Huygens : GA²=(29−20)²+(49−20)²=81+841=922. I_A=I_G+GA²=180,33+922=1102,33.