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1. Types de limites et théorèmes

Rappels et extensions

Limites finies et infinies en un point ou en ±∞. Règle des gendarmes : si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim g = lim h = L, alors lim f = L.

Limite par comparaison : si f(x) ≥ g(x) et lim g = +∞, alors lim f = +∞.

Limites des suites — Théorèmes fondamentaux

• Toute suite monotone bornée converge.

• Si (uₙ) croissante et non majorée : uₙ → +∞.

• Théorème des suites adjacentes : si (aₙ) croissante, (bₙ) décroissante et bₙ − aₙ → 0, elles convergent vers la même limite.

2. Croissances comparées

Hiérarchie fondamentale (à connaître par cœur)

Quand x → +∞, dans l'ordre de croissance croissante :

ln x ≪ x^α ≪ x^n ≪ a^x ≪ e^x pour α > 0, n entier, a > 1.

Autrement dit : lim[x→+∞] (ln x)/x^α = 0 ; lim[x→+∞] x^n/e^x = 0.

Équivalents utiles : lim[x→0] sin x / x = 1 ; lim[x→0] (e^x−1)/x = 1 ; lim[x→0] ln(1+x)/x = 1.

Application — Lever une forme indéterminée

lim[x→+∞] (3x² + 5x)/(x² − 2x + 1). Diviser par x² → 3.

lim[x→0] sin(3x)/(2x) = (3/2)×lim sin(3x)/(3x) = 3/2.

3. Continuité — propriétés avancées

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) — version complète

Si f est continue sur [a;b] : pour tout k ∈ [f(a);f(b)] (ou [f(b);f(a)]), il existe c ∈ [a;b] tel que f(c) = k.

Unicité : si f est en plus strictement monotone, c est unique.

Prolongement par continuité

Si f est définie sur D privé de a, et si lim[x→a] f(x) = L existe et est finie, on peut prolonger f en a en posant f(a) = L. La fonction prolongée est continue en a.

Théorème des valeurs extrêmes

Toute fonction continue sur un segment [a;b] est bornée et atteint ses bornes (maximum et minimum globaux).

4. Limites de suites

Techniques

• Suite géométrique : |q| < 1 → qⁿ → 0 ; q > 1 → qⁿ → +∞ ; q = 1 → 1 ; q = −1 → diverge.

• Suite définie par récurrence : si uₙ → L et u_{n+1} = f(uₙ), alors L = f(L) (point fixe).

• Croissance comparée : nᵅ/aⁿ → 0 pour a > 1, α quelconque.

🧠 À retenir

  • Gendarmes : g ≤ f ≤ h, lim g = lim h = L → lim f = L
  • Croissances comparées : ln x ≪ xᵅ ≪ eˣ
  • lim[x→0] sin x/x = 1 ; lim[x→0] (eˣ−1)/x = 1
  • TVI + stricte monotonie → existence et unicité d'une racine
  • Suite bornée + monotone → convergente
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Théorème des gendarmes

● Moyen

Montrer que lim[n→+∞] sin(n)/n = 0 par le théorème des gendarmes.

Correction

|sin(n)| ≤ 1 pour tout n, donc −1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n. Or lim 1/n = lim(−1/n) = 0. Par les gendarmes : lim sin(n)/n = 0.

2

Croissances comparées

● Moyen
  1. Calculer lim[x→+∞] (x³ + ln x)/eˣ.
  2. Calculer lim[x→0⁺] x·ln x.
  3. Calculer lim[x→+∞] ln(x)/√x.
Correction
  1. x³/eˣ → 0 et ln x/eˣ → 0 (croissance comparée). Donc limite = 0.
  2. x·ln x = (ln x)/(1/x). On sait lim[x→0⁺] x^α·ln x = 0 (α > 0). Ici α = 1. Limite = 0.
  3. ln x/√x = ln(x)/x^(1/2) → 0 (croissance comparée). Limite = 0.
3

TVI — Existence et unicité

● Moyen

f(x) = x³ − 3x + 1.

  1. Montrer que f a une racine dans ]0;1[.
  2. Montrer qu'elle est unique dans ]0;1[.
  3. Encadrer cette racine à 0,1 près.
Correction
  1. f(0)=1>0, f(1)=−1<0. f continue → TVI → racine dans ]0;1[.
  2. f'(x)=3x²−3=3(x²−1)<0 sur ]0;1[ (car x<1 → x²<1). f strictement décroissante → racine unique.
  3. f(0,3)=0,027−0,9+1=0,127>0. f(0,4)=0,064−1,2+1=−0,136<0. Racine dans ]0,3;0,4[.
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Prolongement par continuité

● Moyen

Soit f(x) = sin(2x)/x pour x ≠ 0.

  1. Calculer lim[x→0] f(x).
  2. En quelle valeur f peut-elle être prolongée par continuité en 0 ?
Correction
  1. sin(2x)/x = 2·sin(2x)/(2x) → 2×1 = 2.
  2. On pose f(0) = 2. La fonction prolongée est continue en 0.
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Suite définie par récurrence

● Difficile

Soit uₙ définie par u₀ = 2 et u_{n+1} = (uₙ + 3/uₙ)/2.

  1. Montrer que uₙ ≥ √3 pour tout n (utiliser AM-GM).
  2. Montrer que (uₙ) est décroissante pour n ≥ 1.
  3. Montrer que (uₙ) converge et trouver sa limite.
Correction
  1. AM-GM : (uₙ + 3/uₙ)/2 ≥ √(uₙ · 3/uₙ) = √3. Donc u_{n+1} ≥ √3. Par récurrence uₙ ≥ √3 ∀n ≥ 1.
  2. u_{n+1} − uₙ = (3/uₙ − uₙ)/2 = (3 − uₙ²)/(2uₙ). Si uₙ ≥ √3, alors uₙ² ≥ 3 → numérateur ≤ 0 → u_{n+1} ≤ uₙ. Décroissante.
  3. Décroissante et minorée par √3 → converge vers L. L = (L + 3/L)/2 → 2L² = L² + 3 → L² = 3 → L = √3.
★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x² − 4x + 3)/(x − 1) si x ≠ 1, et f(1) = k.

  1. Domaine et simplification : Simplifier f(x) pour x ≠ 1. Que remarque-t-on ?
  2. Limite : Calculer lim[x→1] f(x).
  3. Continuité : Pour quelle valeur de k f est-elle continue en x = 1 ?
  4. Étude globale : Montrer que f est strictement croissante sur ]1;+∞[. En déduire un résultat sur les valeurs prises par f sur cet intervalle.
  5. Équation : Résoudre f(x) = 5 sur ]1;+∞[. Justifier l'unicité de la solution.
  6. Limite en +∞ : Montrer que lim[x→+∞] f(x) = +∞ et donner un équivalent simple de f(x) quand x → +∞.

Rappel : x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3).

Correction du problème de synthèse
  1. f(x) = (x−1)(x−3)/(x−1) = x−3 pour x ≠ 1. f coïncide avec la droite y = x−3 sauf en x = 1.
  2. lim[x→1] (x−3) = 1−3 = −2.
  3. Pour continuité en 1 : k = f(1) = lim f(x) = −2. k = −2.
  4. f(x) = x−3 sur ]1;+∞[ (après prolongement). Dérivée f'(x)=1>0 → strictement croissante. f(]1;+∞[) = ]−2;+∞[.
  5. x−3=5 → x=8. Unique car f strictement croissante. x = 8.
  6. f(x) = x−3 ~ x quand x→+∞. lim f(x) = +∞. Équivalent : f(x) ~ x.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Théorème des gendarmes : si g≤f≤h et lim g=lim h=L :

Q2/10

lim[x→+∞] xⁿ/eˣ (n entier) :

Q3/10

lim[x→0] sin x / x :

Q4/10

TVI : f continue sur [a;b], f(a)·f(b)<0 → :

Q5/10

Suite monotone croissante et majorée par M :

Q6/10

lim[x→0⁺] x·ln x :

Q7/10

Point fixe d'une suite u_{n+1}=f(uₙ) qui converge vers L :

Q8/10

lim[x→+∞] ln x / xᵅ (α>0) :

Q9/10

lim[x→0] (eˣ−1)/x :

Q10/10

Suite adjacentes (aₙ) et (bₙ) : aₙ croissante, bₙ décroissante, bₙ−aₙ→0 :