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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 02
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1. Théorème de Rolle

Énoncé

Si f est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ et f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a;b[ tel que f'(c) = 0.

Interprétation : la courbe admet une tangente horizontale entre a et b.

Application

f(x) = x(1−x) sur [0;1]. f(0)=0=f(1). f dérivable. f'(x)=1−2x=0 → c=1/2 ∈ ]0;1[. ✅

2. Théorème des accroissements finis (TAF)

Énoncé

Si f est continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[, alors il existe c ∈ ]a;b[ tel que :

f(b) − f(a) = f'(c)·(b − a)

Interprétation géométrique : il existe un point c où la tangente est parallèle à la corde [AB].

Corollaires importants

• Si f'(x) = 0 sur ]a;b[ → f constante sur [a;b].

• Si f'(x) > 0 sur ]a;b[ → f strictement croissante sur [a;b].

• Inégalité des accroissements finis : si m ≤ f'(x) ≤ M sur ]a;b[, alors :

m(b−a) ≤ f(b)−f(a) ≤ M(b−a).

3. Règle de L'Hôpital

Énoncé

Si lim[x→a] f(x) = lim[x→a] g(x) = 0 (ou ∞) et si g'(x) ≠ 0 au voisinage de a, alors :

lim[x→a] f(x)/g(x) = lim[x→a] f'(x)/g'(x)

si cette dernière limite existe.

Exemples

lim[x→0] sin x / x : f'=cos x, g'=1 → lim cos(0)/1 = 1. ✓

lim[x→0] (1−cos x)/x² : L'Hôpital → lim sin x/(2x) = L'Hôpital → lim cos x/2 = 1/2.

4. Dérivées successives

Notation et formule de Leibniz

f⁽ⁿ⁾ = dérivée n-ième de f. (uv)⁽ⁿ⁾ = Σ Cₙᵏ u⁽ᵏ⁾ v⁽ⁿ⁻ᵏ⁾.

Tableau de dérivées : (eˣ)⁽ⁿ⁾ = eˣ ; (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x + nπ/2) ; (xᵅ)⁽ⁿ⁾ = α(α−1)...(α−n+1)xᵅ⁻ⁿ.

🧠 À retenir

  • Rolle : f(a)=f(b) → ∃c : f'(c)=0
  • TAF : f(b)−f(a) = f'(c)(b−a) pour un certain c∈]a;b[
  • Inégalité : m≤f'≤M → m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)
  • L'Hôpital : forme 0/0 ou ∞/∞ → dériver num. et dén.
  • f'=0 sur ]a;b[ → f constante
1

Application du théorème de Rolle

● Moyen

Appliquer Rolle à f(x) = x³ − 3x sur [−√3 ; √3] pour montrer l'existence d'un c ∈ ]−√3;√3[ avec f'(c)=0. Trouver c explicitement.

Correction

f(−√3) = −3√3+3√3 = 0 = f(√3). f continue et dérivable. Rolle garantit ∃c : f'(c)=0. f'(x)=3x²−3=0 → x=±1. Les deux sont dans ]−√3;√3[. c = 1 ou c = −1.

2

Théorème des accroissements finis

● Moyen
  1. Appliquer le TAF à f(x) = √x sur [1;4] et trouver c.
  2. Utiliser le TAF pour encadrer ln(1,5) sachant que (ln x)' = 1/x et 1/x est décroissant.
Correction
  1. TAF : √4−√1 = (1/(2√c))×(4−1) → 1 = 3/(2√c) → √c = 3/2 → c = 9/4 ∈ ]1;4[ ✓.
  2. Sur [1;3/2] : 2/3 ≤ 1/x ≤ 1. TAF → 2/3×(1/2) ≤ ln(3/2)−0 ≤ 1×(1/2) → 1/3 ≤ ln(3/2) ≤ 1/2.
3

Règle de L'Hôpital

● Moyen

Calculer par L'Hôpital :

  1. lim[x→0] (eˣ − 1 − x) / x²
  2. lim[x→1] (ln x)/(x−1)
  3. lim[x→+∞] x·e^(−x)
Correction
  1. 0/0 → (eˣ−1)/(2x) → 0/0 → eˣ/2 → 1/2.
  2. 0/0 → (1/x)/1 → 1.
  3. x·e^(−x) = x/eˣ → +∞/+∞ → L'Hôpital : 1/eˣ → 0.
4

Inégalité des accroissements finis

● Moyen

Montrer que pour tout x > 0 : x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x.

Correction

Posons f(t) = ln(1+t). f'(t)=1/(1+t). Sur [0;x] (x>0) : 1/(1+x) ≤ f'(t) ≤ 1. TAF → 1/(1+x)·x ≤ ln(1+x)−0 ≤ 1·x. D'où x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x. ✓

5

Unicité d'une solution par Rolle

● Difficile

Soit f(x) = x + sin x − 2.

  1. Montrer que l'équation f(x)=0 a au moins une solution sur [0;π].
  2. Montrer par Rolle que cette solution est unique sur ℝ.
Correction
  1. f(0)=−2<0, f(π)=π−2>0. f continue → TVI → solution dans ]0;π[.
  2. Supposons deux solutions a<b. f(a)=f(b)=0. Rolle → ∃c∈]a;b[ : f'(c)=0. Or f'(x)=1+cos x ≥ 0, et f'(x)=0 ssi x=π+2kπ. Mais f'(c)=0 et c∈]a;b[⊂]0;π[⊂[0;2π] : f'>0 sur ]0;π[. Contradiction. Solution unique.
★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit f(x) = (x−1)·eˣ définie sur ℝ.

  1. Signe et variations : Calculer f'(x). Étudier le signe de f' et dresser le tableau de variations.
  2. TAF sur [0;1] : Appliquer le théorème des accroissements finis à f sur [0;1]. Que vaut f(1)−f(0) ? Trouver c.
  3. Inégalité : En déduire, en utilisant l'encadrement de f' sur [0;1], une inégalité encadrant e−1.
  4. L'Hôpital : Calculer lim[x→0] f(x)/x = lim[x→0] (x−1)eˣ/x. (Forme indéterminée ? Vérifier.)
  5. Rolle : Montrer qu'il existe un unique c tel que f'(c) = 0. Préciser c.
  6. Asymptote : Étudier le comportement de f en −∞ et en +∞.
Correction
  1. f'(x) = eˣ + (x−1)eˣ = xeˣ. eˣ>0 → signe de f' = signe de x. f décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[. Min en x=0 : f(0)=−1.
  2. f(1)=0, f(0)=−1. f(1)−f(0)=1. TAF : ∃c∈]0;1[ : f'(c)=ceˣ=1 → ceᶜ=1. Cette équation a une solution dans ]0;1[ (ceᶜ croissant de 0 à e).
  3. f'(x)=xeˣ. Sur [0;1] : 0≤f'≤e. TAF → 0×1≤f(1)−f(0)≤e×1 → 0≤1≤e. Confirme e≥1. Précision : sur [0;1], f'(x)=xeˣ≤xe≤e. Aussi f'≥0. Donc 0≤1≤e. (Plus précis : f'(x)≥x×1=x → ∫₀¹ x dx=1/2 ≤ f(1)−f(0)=1.)
  4. lim[x→0] (x−1)eˣ/x : num→−1, den→0. Pas une forme 0/0. lim = −1/0⁺ = −∞ (par valeur).
  5. f'(x)=xeˣ=0 → x=0 (eˣ≠0). f'(0)=0. Unique zéro. c=0.
  6. En −∞ : eˣ→0, (x−1)→−∞, mais eˣ domine : f(x)=(x−1)eˣ → 0⁻. En +∞ : f(x)→+∞.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Rolle : f continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[, f(a)=f(b) → :

Q2/10

TAF : f(b)−f(a) = f'(c)·(b−a) avec c :

Q3/10

f'(x)>0 sur ]a;b[ → f est :

Q4/10

L'Hôpital s'applique pour les formes :

Q5/10

lim[x→0] (1−cos x)/x² par L'Hôpital :

Q6/10

Inégalité des accroissements finis : m≤f'≤M → :

Q7/10

f'=0 sur ]a;b[ implique :

Q8/10

lim[x→1] (ln x)/(x−1) par L'Hôpital :

Q9/10

Rolle permet de prouver qu'une équation f(x)=0 est :

Q10/10

(eˣ)⁽ⁿ⁾ (dérivée n-ième) :