1. (1+2i+3)/2=2+i.
2. z_B-z_A=2-2i.
3. z_C-z_B=-4+4i. A'=z_A+(z_C-z_B)=1+2i-4+4i=-3+6i.

1. z_A=2+i. z'=i(2+i)=2i-1=-1+2i. A'(-1;2).
2. z'=i(-1+3i)=-i-3=-3-i. B'(-3;-1).
3. |z_A|=√5=|z_A'| ✓.

z_C-z_A=1+3i. z_B-z_A=2+2i. Rapport=(1+3i)/(2+2i)=(1+3i)(2-2i)/8=(2-2i+6i+6)/8=(8+4i)/8=1+i/2. Pas réel → non alignés. Argument=arctan(1/2)≈26,6°.

1. Cercle centre 2-i, rayon 3.
2. Médiatrice de (1;0) et (-1;0), i.e. l'axe Oy.
3. Demi-droite issue de (0;1) de direction π/4.

1. |a|=√2. Rapport=√2. Angle=arg(1+i)=π/4.
2. Ω=b/(1-a)=(2-i)/(1-(1+i))=(2-i)/(-i)=(2-i)·i/(-i·i)=(2i+1)/1=1+2i.
3. f(0)=2-i, f(1)=a+b=1+i+2-i=3. Segment de 2-i à 3.

1. z' = z + (1+2i) est de la forme z'=z+τ : c'est la translation de vecteur d'affixe τ = 1+2i.
2. e^(−iπ/3) est de module 1 : z'=e^(iθ)z avec θ=−π/3 est la rotation de centre O et d'angle −π/3.
3. z'=−z=e^(iπ)z : rotation de centre O et d'angle π, autrement dit la symétrie centrale de centre O.
4. z'=z̄−3i est de la forme z'=z̄+β (β imaginaire pur) : c'est une symétrie orthogonale d'axe horizontal. En posant z=x+iy, z'=x−iy−3i=x+i(−y−3), donc M'(x;−y−3) ; l'ordonnée du milieu de [MM'] vaut (y+(−y−3))/2=−3/2, indépendante de y. C'est la symétrie orthogonale d'axe la droite d'équation y=−3/2.
5. i=e^(iπ/2) : rotation de centre O et d'angle π/2.
6. (1/√2)(1−i) a pour module |1−i|/√2=√2/√2=1 et pour argument arg(1−i)=−π/4, donc (1/√2)(1−i)=e^(−iπ/4) : rotation de centre O et d'angle −π/4.

Le vecteur AB→ a pour affixe τ = z_B − z_A = (1−3i) − (2−i) = 1−3i−2+i = −1−2i.

t est donc la translation de vecteur AB→, d'affixe τ=−1−2i, et son écriture complexe est z' = z + τ = z − 1 − 2i.

Vérification : t(z_A) = (2−i) − 1 − 2i = 1 − 3i = z_B ✓.

t(A) : z_t(A) = z_A + v = (2+i) + (−3−i) = −1 (point de coordonnées (−1;0)).

r(A) : z_r(A) = e^(iπ/2)·z_A = i(2+i) = 2i+i² = 2i−1 = −1+2i (point de coordonnées (−1;2)).

Comparaison : t(A)=−1 et r(A)=−1+2i ont la même partie réelle (−1) mais des parties imaginaires différentes ; les deux points images sont donc distincts mais alignés sur la droite verticale d'équation x=−1, à 2 unités l'un de l'autre.

Figure : A(2;1) ; t(A) s'obtient en décalant A du vecteur (−3;−1), ce qui donne (−1;0) ; r(A) s'obtient en faisant tourner A d'un quart de tour direct autour de O, ce qui donne (−1;2).

1. La symétrie d'axe (Δ): y=x échange les coordonnées : M(x;y) ↦ M'(y;x), donc z'=y+ix. Or i·z̄ = i(x−iy) = ix+y = y+ix. Donc z' = i·z̄. Vérification : le point (1;0) (z=1) a pour image i·1̄=i, soit (0;1), bien le symétrique de (1;0) par rapport à (Δ). ✓
2. La symétrie centrale de centre A (affixe a=1+i) vérifie : A est le milieu de [MM'], donc (z+z')/2=a, d'où z' = 2a − z = 2(1+i) − z = 2 + 2i − z.

1. OA=|z_A|=|6+3i|=√(36+9)=√45=3√5. OB=|z_B|=|2+4i|=√(4+16)=√20=2√5. AB=|z_B−z_A|=|−4+i|=√(16+1)=√17. Les trois longueurs 3√5, 2√5, √17 sont deux à deux distinctes (triangle non isocèle). De plus aucune relation de Pythagore n'est vérifiée : OA²=45 ≠ OB²+AB²=37 ; OB²=20 ≠ OA²+AB²=62 ; AB²=17 ≠ OA²+OB²=65. OAB est donc un triangle scalène (quelconque), sans angle droit.
2. Rotation de centre O, angle π/2 : z_B'=e^(iπ/2)·z_B=i(2+4i)=2i+4i²=2i−4=−4+2i. Rotation de centre O, angle −π/2 : z_A'=e^(−iπ/2)·z_A=−i(6+3i)=−6i−3i²=−6i+3=3−6i. Figure : O à l'origine, A(6;3), B(2;4), A'(3;−6) image de A par un quart de tour indirect, B'(−4;2) image de B par un quart de tour direct.
3. z_M=(z_A'+z_B')/2=((3−6i)+(−4+2i))/2=(−1−4i)/2=−1/2 − 2i.
4. Le vecteur OM→ a pour affixe u=−1/2−2i ; le vecteur AB→ a pour affixe v=z_B−z_A=−4+i. Calculons u/v en multipliant par le conjugué de v : u·v̄ = (−1/2−2i)(−4−i) = 2+0,5i+8i+2i² = 2+8,5i−2 = 8,5i ; et v·v̄=(−4+i)(−4−i)=16+1=17. Donc u/v = 8,5i/17 = i/2, qui est un imaginaire pur. Or u/v imaginaire pur ⟺ (OM)⊥(AB). Les droites (OM) et (AB) sont donc bien perpendiculaires (on remarque de plus que |u/v|=1/2, donc OM=AB/2).
5. La droite (OM) passe par le sommet O et est perpendiculaire au côté [AB] : (OM) est la hauteur issue de O dans le triangle OAB.

z_B−z_A = (√2−√2)+(3−5)i = −2i. z_D−z_C = (√3−0)+(5−6)i = √3−i.

angle(AB→,CD→) = arg(affixe(CD→)/affixe(AB→)) = arg((√3−i)/(−2i)). En multipliant numérateur et dénominateur par i : (√3−i)i / (−2i·i) = (√3i−i²)/2 = (1+√3i)/2 = 1/2 + i√3/2 = cos(π/3)+i sin(π/3).

Donc angle(AB→,CD→) = π/3 [2π] (soit 60°).

1. a) AB→ = z_B−z_A = (4−3i)−(−1−5i) = 5+2i. DC→ = z_C−z_D = (3+3i)−(−2+i) = 5+2i. Comme AB→=DC→, ABCD est un parallélogramme.

   b) B est le milieu de [AA′], donc z_A′ = 2z_B−z_A = 2(4−3i)−(−1−5i) = 8−6i+1+5i = 9−i.

   c) DB→ = z_B−z_D = 6−4i. DC→ = 5+2i (calculé ci-dessus). Leur somme vaut 11−2i, donc z_A″ = z_D+(11−2i) = (−2+i)+(11−2i) = 9−i. (On note que z_A″=z_A′ : ce n'est pas un hasard — puisque ABCD est un parallélogramme, D=A+C−B, donc DB→+DC→=(B−D)+(C−D)=(B−D)+(B−A)=2B−A−D, d'où z_A″=z_D+2z_B−z_A−z_D=2z_B−z_A, exactement la formule du symétrique A′.)

2. A″B→ = z_B−z_A″ = (4−3i)−(9−i) = −5−2i. CD→ = z_D−z_C = (−2+i)−(3+3i) = −5−2i. On a donc A″B→=CD→ : les côtés [A″B] et [CD] sont parallèles et de même longueur (√29).

   Vérifions les diagonales [A″C] et [BD] : milieu de [A″C] = (z_A″+z_C)/2 = (6+i), milieu de [BD] = (z_B+z_D)/2 = (1−i) : ils diffèrent, donc les diagonales ne se coupent pas en leur milieu. A″BCD (pris dans cet ordre) n'est donc pas un parallélogramme simple : c'est un parallélogramme croisé — ce sont en fait les côtés [BC] et [A″D] qui se coupent en leur milieu commun (3,5;0). Autrement dit, c'est le quadrilatère BA″CD (B et A″ échangés) qui est un véritable parallélogramme, car BA″→=DC→.

z′=z+τ avec τ=2−3i : F est la translation de vecteur d'affixe τ=2−3i.

La droite (D): y=2x−1 a pour vecteur directeur d'affixe 1+2i (pente 2). L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle. Prenons le point (0;−1) de (D), d'affixe −i : son image a pour affixe −i+2−3i=2−4i, soit le point (2;−4).

L'image de (D) est donc la droite parallèle à (D) passant par (2;−4) : y−(−4)=2(x−2), soit y=2x−8.

1. t(M) s'obtient en décalant chaque point du vecteur v→=(1;1). Figure : I(1;0)→I′(2;1) ; J(0;1)→J′(1;2) ; A(1;−1)→A′(2;0) ; M(x;y)→M′(x+1;y+1).
2. I′=t(1)=1+(1+i)=2+i. J′=t(i)=i+1+i=1+2i. A′=t(1−i)=(1−i)+(1+i)=2. M′=t(z)=z+1+i.
   I′A′→ = z_A′−z_I′ = 2−(2+i) = −i. J′M′→ = z_M′−z_J′ = (z+1+i)−(1+2i) = z−i.
3. IA→ = z_A−z_I = (1−i)−1 = −i. IM→ = z_M−z_I = z−1. Donc angle(IA→,IM→) = arg((z−1)/(−i)).
   Or I′A′→=−i=IA→ et I′M′→=z_M′−z_I′=(z+1+i)−(2+i)=z−1=IM→ : une translation conserve chaque vecteur individuellement (X′Y′→=XY→ toujours, car t(Y)−t(X)=(Y+v)−(X+v)=Y−X). Donc angle(I′A′→,I′M′→) = angle(IA→,IM→) exactement, sans même passer par un calcul supplémentaire.

a=(1/2)(1+i). |a|=(1/2)|1+i|=(1/2)√2=√2/2. arg(a)=arg(1+i)=π/4 (le facteur réel positif 1/2 ne change pas l'argument). Comme il n'y a pas de terme constant, le point O est fixe : F est donc la similitude directe de centre O, de rapport √2/2 et d'angle π/4.

La droite (Δ): y=x passe par O et fait un angle π/4 avec (Ox) ; comme O est fixe par F, l'image de (Δ) est une droite passant par O, de direction π/4+π/4=π/2, c'est-à-dire l'axe (Oy). Vérification : l'image du point (1;1) d'affixe 1+i est (1/2)(1+i)(1+i)=(1/2)(1+i)²=(1/2)(2i)=i, soit le point (0;1), situé sur (Oy).

L'image de (Δ) est donc la droite d'équation x=0 (l'axe des ordonnées).

1. Figure : r fait tourner chaque point d'un angle de 120° autour de O.
2. e^(i2π/3)=−1/2+i√3/2. I′=r(1)=−1/2+i√3/2. J′=r(i)=i(−1/2+i√3/2)=−√3/2−i/2. A′=r(−1−3i)=(−1/2+i√3/2)(−1−3i)=1/2+3i/2−i√3/2+3√3/2=(1+3√3)/2 + i(3−√3)/2. M′=r(z)=(−1/2+i√3/2)z.
   I′A′→ = z_A′−z_I′ = (2+3√3)/2 + i(3−2√3)/2. J′M′→ = z_M′−z_J′ = (−1/2+i√3/2)z + √3/2 + i/2.
3. Une rotation r de centre Ω et d'angle θ vérifie r(Y)−r(X)=e^(iθ)(Y−X) quels que soient les points X, Y. Donc I′A′→=e^(i2π/3)·IA→ et I′M′→=e^(i2π/3)·IM→, d'où angle(I′A′→,I′M′→)=arg(I′M′→/I′A′→)=arg(IM→/IA→)=angle(IA→,IM→) (le facteur e^(i2π/3) s'élimine dans le quotient). Avec IA→=z_A−1=−2−3i et IM→=z−1 : angle(IA→,IM→) = angle(I′A′→,I′M′→) = arg((z−1)/(−2−3i)) — les deux angles sont rigoureusement égaux, ce qui illustre qu'une rotation conserve tous les angles orientés.

1. Figure : h double toutes les distances à O, sans changer les directions.
2. I′=h(1)=2. J′=h(i)=2i. A′=h(1+i)=2+2i. M′=h(z)=2z.
   I′A′→ = z_A′−z_I′ = (2+2i)−2 = 2i. J′M′→ = z_M′−z_J′ = 2z−2i = 2(z−i).
3. IA→ = z_A−z_I = (1+i)−1 = i. IM→ = z_M−z_I = z−1, donc angle(IA→,IM→)=arg((z−1)/i).
   I′M′→ = z_M′−z_I′ = 2z−2 = 2(z−1), et I′A′→=2i=2·IA→ : de façon générale, pour une homothétie de rapport k, I′A′→=k·IA→ et I′M′→=k·IM→ (k réel non nul), donc angle(I′A′→,I′M′→)=arg(I′M′→/I′A′→)=arg(2(z−1)/(2i))=arg((z−1)/i) = angle(IA→,IM→) : les deux angles sont égaux, le facteur k s'éliminant dans le rapport. Toute homothétie conserve donc les angles orientés.

Méthode : pour z′=az+b, si a est réel, c'est une homothétie (ou une translation si a=1) de centre ω=b/(1−a) et de rapport a ; si |a|=1 (a non réel), c'est une rotation de centre ω=b/(1−a) et d'angle arg(a) ; sinon (|a|≠1 et a non réel), c'est une similitude directe générale de centre ω=b/(1−a), de rapport |a| et d'angle arg(a).

1. a=1 (réel) : translation de vecteur d'affixe 3i.
2. a=2 (réel) : ω=3i/(1−2)=−3i. Homothétie de centre Ω(0;−3), rapport 2.
3. a=1 : translation de vecteur d'affixe −3i.
4. a=1/2 (réel) : ω=−6i/(1−1/2)=−12i. Homothétie de centre Ω(0;−12), rapport 1/2.
5. a=(1−√3)/2≈−0,366 (réel, non nul, ≠1), b=0 : homothétie de centre O et de rapport (1−√3)/2 (rapport négatif).
6. a=i, |a|=1 : ω=5/(1−i)=5(1+i)/2=5/2+5i/2. Rotation de centre Ω(5/2;5/2), angle π/2.
7. a=−2i, |a|=2, arg(a)=−π/2 : ω=3i/(1+2i)=3i(1−2i)/5=(6+3i)/5=6/5+3i/5. Similitude directe de centre Ω(6/5;3/5), rapport 2, angle −π/2.
8. a=−i, |a|=1 : ω=1/(1+i)=(1−i)/2. Rotation de centre Ω(1/2;−1/2), angle −π/2.

1. z_B/z_A = (−1+i√3)/(1+i). En multipliant par le conjugué 1−i : numérateur = (−1+i√3)(1−i) = −1+i+i√3−i²√3 = −1+i+i√3+√3 = (√3−1)+i(√3+1) ; dénominateur = (1+i)(1−i)=2. Donc z_B/z_A = [(√3−1)+i(√3+1)]/2, dont la partie imaginaire (√3+1)/2 est non nulle : ce rapport n'est pas réel, donc O, A et B ne sont pas alignés (l'angle (OA→,OB→)=arg(z_B)−arg(z_A)=2π/3−π/4=5π/12≠0 [π]).
2. S est centrée en O, donc S(z)=az avec a tel que S(z_A)=z_B, soit a=z_B/z_A=[(√3−1)+i(√3+1)]/2 (calculé ci-dessus). Rapport = |a| = |z_B|/|z_A| = 2/√2 = √2. Angle = arg(a) = arg(z_B)−arg(z_A) = 5π/12.
3. Écriture complexe : z′ = [(√3−1)+i(√3+1)]/2 · z (soit encore z′=√2·e^(i5π/12)·z).

1. f : a=i, |a|=1 → rotation. Point fixe : z=iz+2 ⟹ z(1−i)=2 ⟹ z=2/(1−i)=2(1+i)/2=1+i. f est la rotation de centre Ω_f(1;1) et d'angle π/2.
   g : a=2, réel → homothétie. Point fixe : z=2z−1+i ⟹ −z=−1+i ⟹ z=1−i. g est l'homothétie de centre Ω_g(1;−1) et de rapport 2.
2. h(z)=g(f(z))=2(iz+2)−1+i=2iz+4−1+i=2iz+3+i.
3. Pour h, a=2i : |a|=2≠1 et a n'est pas réel, donc h est une similitude directe générale (ni translation, ni rotation pure, ni homothétie pure), de rapport 2 et d'angle π/2 — cohérent avec la composition, car le rapport de h est le produit des rapports (1×2=2) et l'angle de h est la somme des angles (π/2+0=π/2). Centre : z=2iz+3+i ⟹ z(1−2i)=3+i ⟹ z=(3+i)/(1−2i)=(3+i)(1+2i)/5=(3+6i+i+2i²)/5=(1+7i)/5. h est la similitude directe de centre Ω_h(1/5;7/5), de rapport 2 et d'angle π/2.