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1. Affixes et transformations

Affixe d'un point

À tout point M(x;y) on associe l'affixe z_M=x+iy. Réciproquement z=a+bi ↔ M(a;b).

Vecteur AB : affixe z_B-z_A. Milieu de [AB] : affixe (z_A+z_B)/2.

Transformations en forme complexe

Translation de vecteur t (affixe τ) : z' = z + τ.

Homothétie H(Ω,k) : z' = k(z-ω)+ω = kz+(1-k)ω.

Rotation R(Ω,θ) : z' = e^(iθ)(z-ω)+ω.

Similitude directe : z' = az+b avec a,b∈ℂ, a≠0.

2. Angle de deux vecteurs et argument

Formule clé

L'angle orienté (AB→,AC→) = arg((z_C-z_A)/(z_B-z_A)).

Application : A, B, C alignés ⟺ (z_C-z_A)/(z_B-z_A) ∈ ℝ.

Angle droit en A ⟺ arg(rapport) = ±π/2 ⟺ rapport est imaginaire pur.

3. Ensembles de points

Lieu géométrique via ℂ

|z-a|=r : cercle de centre A (affixe a) et de rayon r.

|z-a|=|z-b| : médiatrice de [AB].

arg(z-a)=θ : demi-droite issue de A (exclu) de direction θ.

|(z-a)/(z-b)|=k : cercle d'Apollonius (k≠1).

4. Équations dans ℂ

Résolution

z²=w : trouver √w (forme trig ou système). z²+pz+q=0 : formule (Δ=p²-4q∈ℂ).

Pour Δ=ρe^(iα) : √Δ=±√ρ·e^(iα/2). Chercher les racines carres en forme algébrique.

À retenir

  • Translation z'=z+τ ; rotation z'=e^(iθ)(z-ω)+ω
  • angle(AB,AC)=arg((z_C-z_A)/(z_B-z_A))
  • |z-a|=r : cercle ; |z-a|=|z-b| : médiatrice
  • Alignement ⟺ rapport réel ; perpendicularité ⟺ rapport im. pur
1

Affixes et transformations

● Facile

A(1;2), B(3;0), C(-1;4). z_A=1+2i, z_B=3, z_C=-1+4i. (1) Affixe du milieu de [AB]. (2) Affixe de AB→. (3) Image de A par la translation de vecteur BC→.

Correction
  1. (1+2i+3)/2=2+i.
  2. z_B-z_A=2-2i.
  3. z_C-z_B=-4+4i. A'=z_A+(z_C-z_B)=1+2i-4+4i=-3+6i.
2

Rotation

● Moyen

R(O,π/2): z'=iz. (1) Image de A(2;1). (2) Image de B(-1;3). (3) Vérifier |z'|=|z|.

Correction
  1. z_A=2+i. z'=i(2+i)=2i-1=-1+2i. A'(-1;2).
  2. z'=i(-1+3i)=-i-3=-3-i. B'(-3;-1).
  3. |z_A|=√5=|z_A'| ✓.
3

Angle et alignement

● Moyen

A(1;0), B(3;2), C(2;3). (1) Calculer le rapport (z_C-z_A)/(z_B-z_A). (2) A, B, C alignés ?

Correction

z_C-z_A=1+3i. z_B-z_A=2+2i. Rapport=(1+3i)/(2+2i)=(1+3i)(2-2i)/8=(2-2i+6i+6)/8=(8+4i)/8=1+i/2. Pas réel → non alignés. Argument=arctan(1/2)≈26,6°.

4

Ensembles de points

● Moyen

Décrire géométriquement : (1) |z-2+i|=3. (2) |z-1|=|z+1|. (3) arg(z-i)=π/4.

Correction
  1. Cercle centre 2-i, rayon 3.
  2. Médiatrice de (1;0) et (-1;0), i.e. l'axe Oy.
  3. Demi-droite issue de (0;1) de direction π/4.
5

Similitude

● Difficile

f: z'=az+b avec a=1+i et b=2-i. (1) f est une similitude. Rapport et angle. (2) Centre Ω de la similitude (f(Ω)=Ω). (3) Image du segment [0;1].

Correction
  1. |a|=√2. Rapport=√2. Angle=arg(1+i)=π/4.
  2. Ω=b/(1-a)=(2-i)/(1-(1+i))=(2-i)/(-i)=(2-i)·i/(-i·i)=(2i+1)/1=1+2i.
  3. f(0)=2-i, f(1)=a+b=1+i+2-i=3. Segment de 2-i à 3.
★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Triangle ABC dans le plan complexe : z_A=0, z_B=2, z_C=1+i√3.

  1. Nature du triangle : Calculer |AB|, |BC|, |AC|. Le triangle est-il équilatéral ?
  2. Angle en A : Calculer arg(z_C/z_B)=arg((1+i√3)/2). Quelle est la mesure de l'angle BAC ?
  3. Rotation : Montrer que z_C=2·e^(iπ/3). En déduire que R(A,π/3) transforme B en C.
  4. Centre du cercle circonscrit : Trouver z_Ω tel que |z_Ω|=|z_Ω-2|=|z_Ω-(1+i√3)|.
  5. Similitude : Il existe f:z'=az+b transformant B en A et C en B. Trouver a et b.
  6. Image du triangle : Calculer f(A). Vérifier que f(A), f(B)=A et f(C)=B forment un triangle congruent à ABC.
Correction du problème de synthèse
  1. |AB|=2. |AC|=|1+i√3|=2. |BC|=|1+i√3-2|=|-1+i√3|=2. Équilatéral! ✓
  2. (1+i√3)/2=cos(π/3)+i sin(π/3). arg=π/3. Angle BAC=π/3=60°.
  3. z_C=1+i√3=2(1/2+i√3/2)=2e^(iπ/3). R(A,π/3): z'=e^(iπ/3)·z. z'_B=e^(iπ/3)·2=2e^(iπ/3)=z_C ✓.
  4. |z_Ω|=|z_Ω-2|: Re(z_Ω)=1. |z_Ω-2|=|z_Ω-(1+i√3)|: ...→Im(z_Ω)=1/√3. z_Ω=1+i/√3=1+i√3/3. Vérif: rayon = 2/√3.
  5. f(z_B)=z_A: 2a+b=0. f(z_C)=z_B: a(1+i√3)+b=2. Soustraire: a(1+i√3-2)=2 → a=2/(-1+i√3). Multiplier par conj.: a=2(-1-i√3)/4=(-1-i√3)/2=e^(i·4π/3). b=-2a=1+i√3.
  6. f(z_A)=b=1+i√3=z_C. Donc f(A)=C, f(B)=A, f(C)=B. Triangle CAB congruent à ABC (rotation).

QCM

10 questions

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Affixe du milieu de [AB] (z_A, z_B)=

Q2/10

Translation de vecteur τ: z'=

Q3/10

Rotation R(O,θ): z'=

Q4/10

Angle(AB,AC)=arg(

Q5/10

A,B,C alignés ⟺ (z_C-z_A)/(z_B-z_A) est

Q6/10

|z-3+2i|=5 est un

Q7/10

|z-a|=|z-b| est

Q8/10

Similitude directe: z'=az+b. Rapport=

Q9/10

Centre Ω de la similitude z'=az+b (a≠1)=

Q10/10

Perpendicularité en A ⟺ (z_C-z_A)/(z_B-z_A) est