Ch. 17 Formules d'Euler et de Moivre — applications — Terminale D Maths

1. Formule d'Euler

Formule fondamentale

Pour tout réel θ : e^(iθ) = cos θ + i sin θ.

Conséquences : e^(iπ)=-1 (identité d'Euler). e^(2iπ)=1. e^(-iθ)=cos θ-i sin θ.

cos θ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2. sin θ=(e^(iθ)-e^(-iθ))/(2i).

2. Formule de Moivre

Puissances

(cos θ+i sin θ)ⁿ = cos(nθ)+i sin(nθ) pour tout entier n.

Application : développer (cos θ+i sin θ)ⁿ par le binôme → expressions de cos(nθ) et sin(nθ).

cos(3θ) et sin(3θ)

(cos θ+i sin θ)³ = cos³θ+3cos²θ·i sinθ+3cos θ·(i sinθ)²+(i sinθ)³

= (cos³θ-3cosθ sin²θ)+i(3cos²θ sinθ-sin³θ).

Donc cos(3θ)=4cos³θ-3cosθ et sin(3θ)=3sinθ-4sin³θ.

3. Linéarisation

Exprimer cosⁿθ et sinⁿθ en somme de cosinus/sinus

cosⁿθ = [(e^(iθ)+e^(-iθ))/2]ⁿ → développer par Newton, regrouper.

sinⁿθ = [(e^(iθ)-e^(-iθ))/(2i)]ⁿ → idem.

Linéarisation de cos²θ

cos²θ=[(e^(iθ)+e^(-iθ))/2]²=(e^(2iθ)+2+e^(-2iθ))/4=(1+cos 2θ)/2.

À retenir

e^(iθ)=cos θ+i sin θ (Euler)
(cos θ+i sin θ)ⁿ=cos(nθ)+i sin(nθ) (Moivre)
cos θ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2 ; sin θ=(e^(iθ)-e^(-iθ))/(2i)
Linéarisation : développer via Euler+Newton
cos(3θ)=4cos³θ-3cosθ

Formule d'Euler

● Facile

(1) Vérifier e^(iπ)=-1. (2) Calculer e^(iπ/2). (3) Calculer |e^(iθ)| pour tout θ.

Correction

cos π+i sin π=-1+0=-1. ✓
cos(π/2)+i sin(π/2)=i.
√(cos²θ+sin²θ)=1.

Formule de Moivre

● Moyen

En développant (cos θ+i sin θ)⁴ par Moivre et par le binôme, trouver cos(4θ) et sin(4θ).

Correction

cos(4θ)+i sin(4θ)=cos⁴θ+4cos³θ·i sinθ-6cos²θ sin²θ-4cosθ i sin³θ+sin⁴θ. Parties réelle et imaginaire: cos 4θ=cos⁴θ-6cos²θ sin²θ+sin⁴θ=8cos⁴θ-8cos²θ+1. sin 4θ=4cos³θ sinθ-4cosθ sin³θ=4sinθ cosθ(cos²θ-sin²θ)=2sin(2θ)cos(2θ)=sin(4θ). ✓

Linéarisation

● Moyen

(1) Linéariser cos³θ. (2) Linéariser sin²θ·cos θ.

Correction

cos³θ=[(e^(iθ)+e^(-iθ))/2]³=(e^(3iθ)+3e^(iθ)+3e^(-iθ)+e^(-3iθ))/8=(cos3θ+3cosθ)/4.
sin²θ=(1-cos2θ)/2. Mult par cosθ: (cosθ-cos2θ·cosθ)/2=(cosθ-(cos3θ+cosθ)/2)/2=(cosθ-cos3θ)/4.

Racines de l'unité

● Moyen

Résoudre z⁶=1. (1) Exprimer les 6 racines sous forme e^(ikπ/3). (2) Les placer dans le plan.

Correction

zₖ=e^(2ikπ/6)=e^(ikπ/3), k=0,...,5. z₀=1, z₁=e^(iπ/3)=(1+i√3)/2, z₂=e^(2iπ/3)=(-1+i√3)/2, z₃=-1, z₄=(-1-i√3)/2, z₅=(1-i√3)/2. Hexagone régulier.

Applications trigonométriques

● Difficile

Par Moivre, montrer cos(5θ)=16cos⁵θ-20cos³θ+5cosθ. En déduire cos(π/5).

Correction

cos5θ=Re(cosθ+i sinθ)⁵. Binôme: C₅⁰cos⁵-C₅²cos³sin²+C₅⁴cosθsin⁴=cos⁵-10cos³sin²+5cosθsin⁴=cos⁵-10cos³(1-cos²)+5cosθ(1-cos²)²=16cos⁵-20cos³+5cosθ. Pour θ=π/5: cos(π)=-1=16x⁵-20x³+5x où x=cos(π/5). Résoudre numériquement: x=(1+√5)/4×2=(1+√5)/4... cos(π/5)=(1+√5)/4.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On cherche à exprimer cos(nθ) pour n=1,2,3 et à en déduire des intégrales.

Linéariser cos²θ et sin²θ.
Calculer ∫₀^(π/2) cos²θ dθ et ∫₀^(π/2) sin²θ dθ.
Linéariser cos³θ et sin³θ.
Calculer ∫₀^(π/2) cos³θ dθ. (Chgt var u=sinθ ou utiliser la linéarisation.)
Formule cos(3θ)=4cos³θ-3cosθ : Vérifier en θ=π/6.
Résoudre cos(3θ)=0 sur [0;π] en utilisant la linéarisation et la formule.

Correction du problème de synthèse

cos²θ=(1+cos2θ)/2. sin²θ=(1-cos2θ)/2.
∫₀^(π/2)(1+cos2θ)/2 dθ=[θ/2+sin(2θ)/4]₀^(π/2)=π/4. De même pour sin²θ : π/4.
cos³θ=(cos3θ+3cosθ)/4. sin³θ=(3sinθ-sin3θ)/4.
∫₀^(π/2)cos³θ dθ=[sin3θ/12+3sinθ/4]₀^(π/2)... Ou chgt var: ∫₀¹(1-u²)du=u-u³/3|₀¹=2/3.
θ=π/6: cos(π/2)=0. 4cos³(π/6)-3cos(π/6)=4(√3/2)³-3(√3/2)=4·3√3/8-3√3/2=3√3/2-3√3/2=0 ✓.
cos(3θ)=0 → 3θ=π/2+kπ → θ=π/6+kπ/3. Sur [0;π]: θ=π/6, π/2, 5π/6. Vérification par la formule complète.

QCM

10 questions

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Q1/10

e^(iπ)=

Q2/10

Formule de Moivre : (cosθ+i sinθ)ⁿ=

Q3/10

cos θ=(e^(iθ)+e^(-iθ))/

Q4/10

sin θ=(e^(iθ)-e^(-iθ))/(2

Q5/10

cos²θ linéarisé=

Q6/10

cos(3θ)=

Q7/10

|e^(iθ)|=

Q8/10

Racines de z^n=1 : nombre de racines=

Q9/10

sin²θ linéarisé=

Q10/10

e^(i·π/2)=