Objectif Général 1 — Analyse : généralités et nombres complexes. Limites, continuité, dérivabilité et théorèmes fondamentaux (TVI, TAF).
On dit que f admet une limite finie l en un point a si f(x) se rapproche de l lorsque x se rapproche de a : on note lim x→a f(x) = l.
On dit que f admet une limite infinie en a (ou en ±∞) si f(x) devient arbitrairement grand (ou arbitrairement négatif) lorsque x se rapproche de a (ou de ±∞).
lim x→+∞ 1/x = 0 ; lim x→0⁺ 1/x = +∞ et lim x→0⁻ 1/x = −∞
lim x→+∞ xⁿ = +∞ pour tout n ≥ 1 ; lim x→−∞ xⁿ vaut +∞ si n pair, −∞ si n impair.
Pour une somme, un produit ou un quotient, on additionne / multiplie / divise les limites lorsque cela a un sens. Quatre formes indéterminées exigent une transformation d'écriture : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0.
Calculer lim x→+∞ (x²−3x)/(2x²+1) (forme indéterminée ∞/∞).
On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
Quand x→+∞, 3/x→0 et 1/x²→0, donc la limite vaut 1/2.
f est continue en a si f est définie en a et si lim x→a f(x) = f(a). f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition. La fonction racine carrée est continue sur ℝ⁺. Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur ℝ.
Soit f(x) = (x²−1)/(x−1), définie pour x ≠ 1. Pour x ≠ 1 : f(x) = (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1, donc lim x→1 f(x) = 2.
Comme cette limite est finie, on peut prolonger f par continuité en posant f(1) = 2. La fonction prolongée est alors continue sur ℝ tout entier.
Le nombre dérivé de f en a est f'(a) = lim h→0 [f(a+h) − f(a)] / h, lorsque cette limite existe et est finie. Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
| Fonction f | Dérivée f' |
|---|---|
| f(x) = k (constante) | f'(x) = 0 |
| f(x) = xⁿ | f'(x) = n·xⁿ⁻¹ |
| f(x) = 1/x | f'(x) = −1/x² |
| f(x) = √x | f'(x) = 1/(2√x) |
| f(x) = sin x | f'(x) = cos x |
| f(x) = cos x | f'(x) = −sin x |
| (u + v) | u' + v' |
| (u × v) | u'v + uv' |
| (u / v) | (u'v − uv') / v² |
| u∘v (composée) | (u∘v)' = v' × u'(v) |
Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.
Si de plus f est strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
Si f est continue sur [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[, il existe au moins un réel c ∈ ]a ; b[ tel que f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a).
Soit f(x) = x³ + x − 1. f est un polynôme donc continue sur ℝ, et f'(x) = 3x² + 1 > 0 pour tout x, donc f est strictement croissante.
f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Par le corollaire du TVI, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle ]0 ; 1[.
Calculer les limites suivantes :
Soit f définie par f(x) = x² + 1 si x ≤ 1, et f(x) = 3x − 1 si x > 1. Étudier la continuité de f en x = 1.
f(1) = 1² + 1 = 2 (première branche, car 1 ≤ 1).
lim x→1⁻ f(x) = lim (x²+1) = 2. lim x→1⁺ f(x) = lim (3x−1) = 3×1−1 = 2.
Les limites à gauche et à droite sont égales entre elles et à f(1) = 2 : f est continue en x = 1.
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1. Avec u = 2x−1, v = x+3 (u' = 2, v' = 1), la formule (u/v)' = (u'v − uv')/v² donne :
2. Avec u = x²+1 (u' = 2x), g = √u donc g' = u'/(2√u) :
Soit f(x) = x³ − 3x + 1 sur [0 ; 1]. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [0 ; 1].
f est un polynôme, donc continue et dérivable sur ℝ. f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1).
Sur [0 ; 1] : x−1 ≤ 0 et x+1 > 0, donc f'(x) ≤ 0 (nul seulement en x=1) : f est strictement décroissante sur [0 ; 1].
f(0) = 1 > 0 et f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0. Comme 0 est bien compris entre f(1) et f(0), et que f est continue et strictement monotone sur [0 ; 1], le corollaire du TVI assure l'existence d'une unique solution à f(x) = 0 dans [0 ; 1].
Soit f(x) = x² − 2x + 3 sur [1 ; 4].
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
lim x→+∞ (x²−1)/(x+1) vaut :
lim x→0 (1/x) n'existe pas car :
Si f est continue sur [a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors :
Le nombre dérivé f'(a) représente géométriquement :
La dérivée de f(x) = x³ est :
La dérivée de f(x) = √x est :
Pour f = u/v, la dérivée f' est donnée par :
Le théorème des accroissements finis affirme l'existence d'un réel c tel que f'(c) soit égal à :
f(x) = (x²−1)/(x−1) est-elle prolongeable par continuité en x = 1 ?
Une fonction dérivable en un point est nécessairement :
