Objectif Général 1 — Analyse : généralités et nombres complexes. Forme algébrique, trigonométrique, exponentielle, équations et racines n-ièmes.
On admet l'existence d'un nombre i tel que i² = −1. L'ensemble des nombres complexes est ℂ = {a + bi | a, b ∈ ℝ}. Pour z = a + bi, a est la partie réelle Re(z) et b la partie imaginaire Im(z).
Addition : (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Multiplication : (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
Conjugué de z = a+bi : z̄ = a − bi. On a toujours z × z̄ = a² + b², un réel positif.
Soit z = 3 + 2i. Son conjugué est z̄ = 3 − 2i.
Le module de z = a+bi est |z| = √(a² + b²). Un argument θ de z (z ≠ 0) vérifie cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|.
La forme trigonométrique de z s'écrit z = |z|(cos θ + i sin θ).
Soit z = 1 + i√3. |z| = √(1+3) = 2. cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3.
On pose e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Tout complexe non nul s'écrit alors sous forme exponentielle z = r·e^(iθ) avec r = |z|.
Produit : r₁e^(iθ₁) × r₂e^(iθ₂) = r₁r₂·e^(i(θ₁+θ₂)) (on multiplie les modules, on ajoute les arguments).
Formule de Moivre : pour tout entier n, (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).
Calculer (1+i)⁴. On a 1+i = √2·e^(iπ/4) (module √2, argument π/4).
On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac.
Résoudre z² − 2z + 5 = 0. Δ = 4 − 20 = −16 < 0. √(−Δ) = 4.
Les solutions de zⁿ = 1 sont les n complexes zₖ = e^(i2kπ/n) pour k = 0, 1, …, n−1. Pour n = 3 : z₀ = 1, z₁ = −1/2 + i√3/2, z₂ = −1/2 − i√3/2.
Calculer :
Déterminer le module et un argument de z = −1 + i, puis écrire z sous forme trigonométrique.
|z| = √((−1)² + 1²) = √2. cos θ = −1/√2 et sin θ = 1/√2, donc θ = 3π/4.
Résoudre dans ℂ l'équation z² + 2z + 5 = 0.
Δ = 2² − 4×1×5 = 4 − 20 = −16 < 0. √(−Δ) = √16 = 4.
Les solutions sont z₁ = −1 + 2i et z₂ = −1 − 2i (complexes conjuguées).
Calculer (√3 + i)⁶ en utilisant la forme exponentielle.
Module : r = √(3+1) = 2. Argument : cos θ = √3/2, sin θ = 1/2, donc θ = π/6.
Résoudre dans ℂ l'équation z³ = 8.
8 s'écrit sous forme exponentielle 8 = 8·e^(i0). Les solutions sont zₖ = 8^(1/3)·e^(i(0+2kπ)/3) = 2·e^(i2kπ/3) pour k = 0, 1, 2.
Vérification pour z₁ : (−1+i√3)² = 1 − 2i√3 − 3 = −2 − 2i√3, puis (−2−2i√3)(−1+i√3) = 2 − 2i√3 + 2i√3 − 2×3×i² = 2 + 6 = 8. ✓
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
i² est égal à :
Le conjugué de z = 5 − 2i est :
Le module de z = 3 + 4i est :
La forme exponentielle de z = r(cos θ + i sin θ) s'écrit :
(1+i)² est égal à :
L'équation z² + 1 = 0 admet pour solutions dans ℂ :
Si Δ < 0 pour az²+bz+c=0 (a,b,c réels), les solutions sont :
Pour tout réel θ, |e^(iθ)| est égal à :
La formule de Moivre donne (cos θ + i sin θ)ⁿ = :
Le produit z × z̄ est toujours :
