Ch. 10 Mathématiques · Terminale Commerciale (TBG)

Équations différentielles

Équations différentielles du premier ordre et applications économiques (croissance, décroissance exponentielle).

1. Équations du premier ordre y′ = ay

Théorème

Les solutions de y′ = ay (a ∈ ℝ) sont y(x) = Ce^(ax), C ∈ ℝ constante arbitraire.

Exemple

y′ = 0,05y modélise une croissance de 5% par unité de temps : y(x) = Ce^(0,05x).

2. Équations y′ = ay + b

Méthode

Solution particulière constante y_p = −b/a. Solution générale : y(x) = Ce^(ax) − b/a.

3. Détermination de la constante avec une condition initiale

Méthode

On substitue une condition connue y(x₀) = y₀ dans la solution générale pour déterminer C de façon unique.

4. Applications économiques

Exemples de modélisation

Croissance d'un capital à intérêts composés continus, décroissance de la valeur d'un bien (amortissement exponentiel), évolution d'une population : toutes ces situations se modélisent par des équations du type y′ = ay ou y′ = ay + b.

🧠 À retenir absolument

y′ = ay ⟹ y(x) = Ce^(ax)
y′ = ay+b ⟹ y(x) = Ce^(ax) − b/a
Une seule condition initiale suffit à déterminer C pour une équation du premier ordre
Toujours vérifier la solution en la substituant dans l'équation d'origine
De nombreux phénomènes économiques (intérêts, amortissement) suivent ce modèle

Résolution simple

● Facile

Résoudre l'équation différentielle y′ = 0,1y.

✅ Correction

Équation du type y′=ay avec a=0,1. Solution générale : y(x) = Ce^(0,1x), C ∈ ℝ.

Avec condition initiale

● Facile

Résoudre y′ = −0,5y avec y(0) = 1000.

✅ Correction

y(x) = Ce^(−0,5x). y(0) = C = 1000.

y(x) = 1000 e^(−0,5x).

Équation y′ = ay + b

● Moyen

Résoudre y′ = 0,2y − 20.

✅ Correction

y_p = −b/a = −(−20)/0,2 = 100. Vérification : y_p′ = 0 = 0,2×100−20 = 20−20 = 0 ✓.

Solution générale : y(x) = Ce^(0,2x) + 100, C ∈ ℝ.

Application : capital à intérêts continus

● Moyen

Un capital C(t) placé à un taux d'intérêt continu de 3% par an vérifie C′(t) = 0,03 C(t), avec C(0) = 5000 (en euros). Déterminer C(t), puis calculer le capital après 10 ans (arrondir à l'unité, e^0,3 ≈ 1,3499).

✅ Correction

Équation du type C′=aC avec a=0,03 : C(t) = Ke^(0,03t). C(0)=K=5000. Donc C(t) = 5000 e^(0,03t).

C(10) = 5000 × e^(0,3) ≈ 5000 × 1,3499 ≈ 6750 €.

Problème de synthèse — amortissement dégressif

● Difficile

La valeur V(t) d'un équipement industriel, amorti de façon continue au taux de 15% par an, vérifie V′(t) = −0,15 V(t), avec V(0) = 40 000 € (valeur d'achat).

Déterminer V(t).
Calculer la valeur après 5 ans (arrondir à l'euro près, e^(−0,75) ≈ 0,4724).
Déterminer, en résolvant une équation, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur soit inférieure à 10 000 € (ln(4) ≈ 1,386, donner le résultat arrondi à l'année supérieure).

✅ Correction

V′=−0,15V est du type y′=ay avec a=−0,15. V(t) = Ke^(−0,15t), V(0)=K=40000. Donc V(t) = 40000 e^(−0,15t).
V(5) = 40000 × e^(−0,75) ≈ 40000 × 0,4724 ≈ 18 896 €.
On cherche t tel que V(t) < 10000 : 40000e^(−0,15t) < 10000 ⟺ e^(−0,15t) < 1/4 ⟺ −0,15t < ln(1/4) = −ln(4) ⟺ t > ln(4)/0,15 ≈ 1,386/0,15 ≈ 9,24.
Il faut donc 10 ans (arrondi à l'année supérieure) pour que la valeur passe sous 10 000 €.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Les solutions de y′ = 0,04y sont :

Question 2 / 10

La solution particulière constante de y′ = 0,1y − 5 est :

Question 3 / 10

Si y(x) = Ce^(0,02x) et y(0) = 200, alors C vaut :

Question 4 / 10

Une décroissance exponentielle correspond à une équation y′=ay avec :

Question 5 / 10

La solution générale de y′=ay+b s'écrit :

Question 6 / 10

Un capital placé à intérêts continus au taux r vérifie C′(t) = :

Question 7 / 10

Pour déterminer C dans une équation du premier ordre, il faut :

Question 8 / 10

La fonction y(x) = 10e^(0,5x) est solution de :

Question 9 / 10

L'amortissement dégressif continu d'un bien correspond à une équation du type :

Question 10 / 10

Pour y′ = −0,25y + 10, la solution particulière constante est :