Objectif Général 3 — Calcul intégral. Primitives, intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, calcul d'aires et applications économiques.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I. Si F₀ est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F(x) = F₀(x) + C, où C est une constante réelle.
| Fonction f | Une primitive F | Intervalle |
|---|---|---|
| f(x) = xⁿ (n entier, n≠−1) | F(x) = x^(n+1)/(n+1) | ℝ |
| f(x) = 1/x | F(x) = ln|x| | ]0;+∞[ ou ]−∞;0[ |
| f(x) = eˣ | F(x) = eˣ | ℝ |
| f(x) = k (constante) | F(x) = kx | ℝ |
Trouver la primitive F de f(x) = 4x³ − 6x + 1 telle que F(0) = 2.
F(0) = 0 − 0 + 0 + C = C = 2, donc F(x) = x⁴ − 3x² + x + 2.
Soit f une fonction continue sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b]. L'intégrale de f entre a et b est le nombre réel :
• Linéarité : ∫ₐᵇ(f+g) = ∫ₐᵇf + ∫ₐᵇg et ∫ₐᵇ(k×f) = k×∫ₐᵇf.
• Relation de Chasles : ∫ₐᵇf + ∫ᵇᶜf = ∫ₐᶜf, pour tous réels a, b, c.
• ∫ₐᵃ f(x)dx = 0 et ∫ₐᵇ f(x)dx = −∫ᵇᵃ f(x)dx.
Calculer ∫₀² (3x² − 2)dx.
Si f est continue et f(x) ≥ 0 sur [a;b], l'aire A du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b (exprimée en unités d'aire) est :
Si f(x) ≤ 0 sur [a;b], cette aire vaut A = −∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᵇ (−f(x))dx.
Calculer l'aire délimitée par la courbe de f(x) = x², l'axe des abscisses, entre x = 0 et x = 3 (f ≥ 0 sur [0;3]).
La valeur moyenne d'une fonction f continue sur [a;b] (avec a≠b) est le réel :
En économie, l'intégrale d'un coût marginal Cm entre 0 et x donne le coût total variable pour produire x unités.
Le coût marginal d'une entreprise est Cm(x) = 2x + 10 (en FCFA par unité). Calculer le coût total variable CV pour produire 20 unités, puis la valeur moyenne du coût marginal sur [0;20].
Valeur moyenne : m = 600/20 = 30 FCFA par unité.
Déterminer la primitive F de f(x) = 6x² − 4x + 3 telle que F(1) = 5.
Une primitive générale de f est F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C.
Donc F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + 2.
Calculer I = ∫₁³ (2x + 1)dx.
Donc I = 10.
Soit f(x) = x² − 4x + 5.
Soit f(x) = −x² + 4. Calculer l'aire A délimitée par la courbe de f et l'axe des abscisses entre x = −1 et x = 1.
Sur [−1;1], f(x) = 4−x² ≥ 3 > 0, donc f ≥ 0 et A = ∫₋₁¹ f(x)dx.
Donc A = 22/3 u.a. ≈ 7,33 u.a.
Le coût marginal d'une entreprise, pour une production x ∈ [0;10] (en unités), est Cm(x) = 3x² − 12x + 15 (en FCFA par unité).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une primitive de f(x) = x³ sur ℝ est :
Une primitive de f(x) = 1/x sur ]0;+∞[ est :
Si F est une primitive de f sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx est égal à :
∫ₐᵃ f(x)dx est toujours égal à :
La relation de Chasles s'écrit :
Si f est continue et f(x) ≥ 0 sur [a;b], alors ∫ₐᵇ f(x)dx représente :
L'égalité ∫ₐᵇ f(x)dx = −∫ᵇᵃ f(x)dx est :
La valeur moyenne d'une fonction f sur [a;b] est donnée par :
∫₀¹ x² dx est égale à :
Une primitive de f(x) = eˣ sur ℝ est :
