Objectif Général 1 — Analyse. Limites, continuité, dérivabilité et théorèmes fondamentaux (valeurs intermédiaires, Rolle, accroissements finis).
On dit que f a pour limite finie L en a si f(x) se rapproche autant que l'on veut de L lorsque x se rapproche de a. On note lim(x→a) f(x) = L.
On dit que f a pour limite +∞ en a (ou en +∞/−∞) si f(x) devient aussi grand que l'on veut. Ces notions s'étendent aux limites en +∞ et −∞.
Les limites d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonctions s'obtiennent en général en additionnant, multipliant, divisant les limites — sauf dans les formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞ / ∞, 0 / 0, qui nécessitent une transformation de l'écriture (factorisation, quantité conjuguée, etc.).
lim(x→1) (3x²−5x+2)/(x−1) : forme 0/0. On factorise 3x²−5x+2 = (x−1)(3x−2), donc le quotient vaut 3x−2 pour x≠1, et la limite vaut 3×1−2 = 1.
lim(x→3) (√(x+1)−2)/(x−3) : forme 0/0. En multipliant par la quantité conjuguée, on obtient 1/(√(x+1)+2), qui tend vers 1/4 en x=3.
lim(x→−∞) (√(x²+1) + x) : forme ∞−∞. En multipliant par la quantité conjuguée : (√(x²+1)+x) = 1/(√(x²+1)−x), qui tend vers 0 quand x→−∞.
| Fonction | Limite en +∞ | Limite en 0⁺ |
|---|---|---|
| 1/x | 0 | +∞ |
| 1/x² | 0 | +∞ |
| √x | +∞ | 0 |
| xⁿ (n≥1) | +∞ | 0 |
f est continue en a si lim(x→a) f(x) = f(a). f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I. Les fonctions usuelles (polynômes, √, sin, cos, quotients bien définis) sont continues sur leur domaine.
Si f est continue sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.
Corollaire (théorème de la bijection) : si de plus f est strictement monotone sur [a,b], la solution c est unique.
Soit f(x) = x³ − 3x + 1 sur [0,1]. f est continue (polynôme). f(0) = 1 > 0 et f(1) = 1−3+1 = −1 < 0. D'après le TVI, il existe au moins une solution c ∈ ]0,1[ à l'équation f(c) = 0.
Le nombre dérivé de f en a est f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h, lorsque cette limite existe. Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et si f(a) = f(b), alors il existe au moins un c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0.
Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = f'(c)(b − a).
Conséquence : si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I ; si f'(x) < 0, f est strictement décroissante.
Pour g(x) = x² sur [0,2] : g(2) − g(0) = 4. Le TAF donne 2c = 4, soit c = 1, bien dans ]0,2[.
Calculer les limites suivantes :
On définit f par f(x) = x²−1 si x ≤ 2, et f(x) = 2x+k si x > 2. Déterminer k pour que f soit continue en 2.
Limite à gauche : f(2) = 2²−1 = 3. Limite à droite : lim(x→2⁺) (2x+k) = 4+k.
Pour la continuité, il faut 4+k = 3, soit k = −1.
Soit f(x) = x³ − 3x + 1. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution dans [0 ; 1], puis encadrer cette solution à 0,05 près par dichotomie.
f est continue sur [0,1] (fonction polynôme). f(0) = 1 > 0 et f(1) = −1 < 0 : les valeurs sont de signes contraires, donc d'après le TVI, il existe c ∈ ]0,1[ tel que f(c) = 0.
Dichotomie : f(0,5) = 0,125 − 1,5 + 1 = −0,375 < 0 ⟹ solution dans ]0 ; 0,5[. f(0,3) = 0,027 − 0,9 + 1 = 0,127 > 0 ⟹ solution dans ]0,3 ; 0,5[. f(0,35) ≈ −0,007 < 0 ⟹ solution dans ]0,3 ; 0,35[.
Soit f(x) = x³ − 3x² + 2. Calculer f'(x), puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse x = 1.
f'(x) = 3x² − 6x. On a f(1) = 1−3+2 = 0 et f'(1) = 3−6 = −3.
L'équation de la tangente est y = f(1) + f'(1)(x−1) = −3(x−1), soit y = −3x + 3.
1. Soit f(x) = x³ − x sur [−1,1]. Vérifier les hypothèses du théorème de Rolle puis déterminer la ou les valeurs de c données par ce théorème.
2. Soit g(x) = x² sur [0,2]. Déterminer la valeur c donnée par le théorème des accroissements finis.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
lim(x→+∞) (2x²−3x)/(x²+1) est égale à :
lim(x→2) (x²−4)/(x−2) est égale à :
Si f est continue sur [a,b] et f(a), f(b) sont de signes contraires, le TVI garantit :
Le nombre dérivé f'(a) représente géométriquement :
Le théorème de Rolle affirme que si f(a)=f(b), alors :
La fonction f(x) = 1/x est-elle continue en 0 ?
Laquelle de ces formes n'est PAS une forme indéterminée ?
Si f est dérivable sur I et f'(x) > 0 pour tout x de I, alors f est :
lim(x→−∞) (√(x²+1) + x) est égale à :
Le théorème des accroissements finis affirme qu'il existe c ∈ ]a,b[ tel que :
