Objectif Général 1 — Analyse. Forme algébrique, trigonométrique et exponentielle ; équations et racines n-ièmes.
ℂ est l'ensemble des nombres de la forme z = a + ib, avec a, b ∈ ℝ et i² = −1. a est la partie réelle Re(z), b la partie imaginaire Im(z).
Le conjugué de z = a+ib est z̄ = a − ib.
Les opérations (+, −, ×) se font comme sur les réels, en remplaçant i² par −1. On a z × z̄ = a² + b² (toujours réel positif).
(2+3i)(1−2i) = 2 − 4i + 3i − 6i² = 2 − 4i + 3i + 6 = 8 − i.
Le module de z = a+ib est |z| = √(a² + b²). Un argument θ de z (z≠0) vérifie cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|.
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ). Forme exponentielle : z = r·e^(iθ), avec r = |z|.
|z1 z2| = |z1| |z2| et arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π].
Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).
z = 1+i : |z| = √2, arg(z) = π/4 (car cos θ = √2/2 et sin θ = √2/2). Donc z = √2·e^(iπ/4).
z = −1+i√3 : |z| = √(1+3) = 2, arg(z) = 2π/3 (cos θ=−1/2, sin θ=√3/2). Donc z = 2·e^(i2π/3).
Pour az² + bz + c = 0 (a≠0) de discriminant Δ = b²−4ac : si Δ<0, les solutions sont z = (−b ± i√|Δ|) / 2a, deux complexes conjugués.
z² + z + 1 = 0 : Δ = 1−4 = −3 < 0. Solutions : z = (−1 ± i√3) / 2.
Racines carrées de i : on cherche z=a+bi tel que z²=i. On trouve a²−b²=0 et 2ab=1, d'où a=b=√2/2. Les racines carrées de i sont ±(√2/2)(1+i).
Soient z1 = 3−2i et z2 = −1+4i. Calculer z1+z2, z1−z2, z1×z2, et le conjugué de z1.
Déterminer le module et un argument de z = √3 + i, puis écrire z sous forme exponentielle.
|z| = √((√3)² + 1²) = √(3+1) = 2.
cos θ = √3/2 et sin θ = 1/2, donc θ = π/6.
Forme exponentielle : z = 2·e^(iπ/6).
Résoudre dans ℂ l'équation z² − 4z + 13 = 0.
Δ = (−4)² − 4×1×13 = 16 − 52 = −36 < 0. On a √|Δ| = 6, d'où √Δ = 6i.
Les solutions sont z = (4 ± 6i) / 2, soit z = 2+3i ou z = 2−3i.
Calculer (1+i)⁸ en utilisant la forme exponentielle.
1+i = √2·e^(iπ/4). Donc (1+i)⁸ = (√2)⁸ · e^(i×8×π/4) = 2⁴ · e^(i2π) = 16 × (cos 2π + i sin 2π) = 16 × 1 = 16.
1. Résoudre dans ℂ l'équation z³ = 1.
2. Placer les trois solutions sur le cercle trigonométrique et montrer qu'elles forment un triangle équilatéral.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
i² est égal à :
Le conjugué de z = 5−3i est :
|3+4i| est égal à :
La forme exponentielle de z = 1+i est :
Pour deux complexes z1, z2 non nuls, arg(z1×z2) est égal à :
Les solutions de z²+1=0 dans ℂ sont :
(1+i)² est égal à :
Le module de z1×z2 est égal à :
Les racines carrées de −4 dans ℂ sont :
Si z = r·e^(iθ), alors son conjugué z̄ s'écrit :
