Objectif Général 4 — Statistique et calcul intégral. Primitives, intégrale d'une fonction continue sur un segment, propriétés (Chasles, linéarité, positivité), calcul d'aires et valeur moyenne.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F'(x) = f(x) pour tout x de I.
Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement les fonctions x ↦ F(x) + C, où C est une constante réelle. Deux primitives d'une même fonction diffèrent donc d'une constante.
| f(x) | Primitive F(x) |
|---|---|
| a (constante) | ax + C |
| xn (n≠−1) | xn+1/(n+1) + C |
| 1/x (x>0) | ln(x) + C |
| ex | ex + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sin(x) | −cos(x) + C |
Déterminer la primitive F de f(x) = 3x² − 4x + 1 telle que F(1) = 0.
La primitive cherchée est F(x) = x³ − 2x² + x.
Soit f continue sur I, a et b deux réels de I, et F une primitive de f sur I. On appelle intégrale de f de a à b le nombre réel :
∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a)
Ce nombre ne dépend pas du choix de la primitive F. La variable x est dite « muette » : ∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,b] f(t)dt.
Calculer ∫[0,2] (x² + 1) dx.
∫[0,2] (x² + 1) dx = 14/3.
Pour tous réels a, b, c de I : ∫[a,c] f(x)dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[b,c] f(x)dx. En particulier ∫[a,a] f(x)dx = 0 et ∫[b,a] f(x)dx = −∫[a,b] f(x)dx.
Pour α, β réels : ∫[a,b] (αf(x) + βg(x)) dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx. En particulier ∫[a,b] k dx = k(b−a) pour k constante.
Si a ≤ b et f ≥ 0 sur [a,b], alors ∫[a,b] f(x)dx ≥ 0. Si a ≤ b et f ≤ g sur [a,b], alors ∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx.
Soit f(x) = x² − 2x. Une primitive est F(x) = x³/3 − x².
On retrouve bien ∫[1,4]f = ∫[1,2]f + ∫[2,4]f = 6, conformément à la relation de Chasles.
Si f est continue et positive sur [a,b], l'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b vaut, en unités d'aire (u.a.) : A = ∫[a,b] f(x) dx.
Si f ≥ g sur [a,b], l'aire du domaine compris entre les courbes de f et de g vaut : A = ∫[a,b] (f(x) − g(x)) dx (en u.a.).
La valeur moyenne de f sur [a,b] (a≠b) est μ = (1/(b−a)) ∫[a,b] f(x) dx.
Aire entre f(x) = x + 2 et g(x) = x² sur [−1 ; 2] (où f ≥ g, car f(x)−g(x) = −x²+x+2 = −(x−2)(x+1) ≥ 0 sur [−1;2]).
L'aire du domaine vaut 9/2 = 4,5 unités d'aire.
Déterminer la primitive F de f(x) = 4x³ − 6x + 2 telle que F(0) = 5.
La primitive cherchée est F(x) = x⁴ − 3x² + 2x + 5.
Calculer ∫[0,1] (3x² + 2x) dx.
∫[0,1] (3x² + 2x) dx = 2.
On sait que ∫[0,2] f(x)dx = 6 et ∫[2,5] f(x)dx = −2. Calculer ∫[0,5] f(x)dx, puis ∫[0,5] (2f(x) + 3) dx.
∫[0,5] f(x)dx = 4 et ∫[0,5] (2f(x)+3)dx = 23.
Soit f(x) = −x² + 4x. Vérifier que f ≥ 0 sur [0,4], puis calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de f et l'axe des abscisses entre x=0 et x=4.
f(x) = −x(x−4) : sur [0,4], −x ≤ 0 et (x−4) ≤ 0, donc leur produit est positif : f ≥ 0 sur [0,4].
L'aire vaut 32/3 unités d'aire.
On considère les fonctions f(x) = 4 − x² et g(x) = x² − 2x.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une primitive de f(x) = 3x² sur ℝ est :
La primitive F de f(x) = 2x telle que F(0) = 5 est :
∫[0,1] x dx = ?
Si ∫[a,b] f(x)dx = 8, alors ∫[b,a] f(x)dx = ?
La relation de Chasles pour les intégrales s'écrit :
Si f ≥ 0 sur [a,b] avec a ≤ b, alors ∫[a,b] f(x)dx est :
∫[2,2] f(x)dx = ?
L'aire sous la courbe d'une fonction f continue et positive sur [a,b] est donnée par :
La valeur moyenne de f sur [a,b] est donnée par la formule :
∫[1,3] 2 dx = ?
