Objectif Général 4 — Statistique et calcul intégral. Nuage de points, point moyen, covariance, coefficient de corrélation, ajustement affine par la méthode des moindres carrés.
Une série statistique à deux variables est une suite de couples (xi ; yi) pour i = 1, …, n. Le nuage de points est la représentation de ces n points dans un repère.
Le point moyen du nuage est G(x̄ ; ȳ), avec :
x̄ = (1/n)Σxᵢ et ȳ = (1/n)Σyᵢ
Pour la série xᵢ : 1, 2, 3, 4, 5 et yᵢ : 3, 5, 6, 8, 9 (n = 5) :
Le point moyen est G(3 ; 6,2).
Cov(x,y) = (1/n) Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
V(x) = (1/n)Σ(xᵢ−x̄)² V(y) = (1/n)Σ(yᵢ−ȳ)²
r = Cov(x,y) / (√V(x) × √V(y)), avec toujours −1 ≤ r ≤ 1.
• |r| proche de 1 : forte corrélation linéaire (r > 0 : liaison croissante ; r < 0 : liaison décroissante).
• |r| proche de 0 : pas de liaison linéaire significative entre x et y.
Avec x̄=3, ȳ=6,2 : écarts xᵢ−x̄ = −2,−1,0,1,2 et yᵢ−ȳ = −3,2 ; −1,2 ; −0,2 ; 1,8 ; 2,8.
r ≈ 0,993 est très proche de 1 : la liaison entre x et y est fortement linéaire et croissante.
La droite qui ajuste le mieux le nuage au sens des moindres carrés a pour équation y = ax + b avec :
a = Cov(x,y) / V(x) et b = ȳ − a x̄
La droite d'ajustement passe toujours par le point moyen G(x̄ ; ȳ).
Droite d'ajustement : y = 1,5x + 1,7.
On utilise la droite d'ajustement pour estimer une valeur de y pour un x hors des données observées. Cette estimation reste une approximation, d'autant plus fiable que |r| est proche de 1 et que l'extrapolation reste proche du domaine observé.
En prenant x = 6 dans y = 1,5x + 1,7 :
On estime donc y ≈ 10,7 pour x = 6.
Une série statistique donne les couples : xᵢ (temps en heures) : 0, 1, 2, 3, 4 et yᵢ (température en °C) : 10, 12, 15, 17, 21. Calculer x̄ et ȳ.
Point moyen : G(2 ; 15).
Pour la série xᵢ : 2, 4, 6, 8, 10, calculer x̄ puis V(x).
Pour la série xᵢ : 1, 2, 3, 4, 5 et yᵢ : 2, 3, 5, 7, 8, calculer x̄, ȳ, Cov(x,y), V(x), V(y) puis r. Interpréter le résultat.
r ≈ 0,992, très proche de 1 : la corrélation linéaire entre x et y est très forte et positive.
Une étude donne Cov(x,y) = 4,5 ; V(x) = 3 ; x̄ = 10 ; ȳ = 25. Déterminer l'équation de la droite de régression y = ax+b, puis estimer y pour x = 15.
Droite de régression : y = 1,5x + 10.
Pour x = 15 : y = 1,5×15 + 10 = 22,5 + 10 = 32,5.
Une usine relève la production mensuelle (en tonnes) sur 5 mois consécutifs (rang xᵢ : 1 à 5) : yᵢ : 20, 25, 28, 34, 38.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le point moyen d'un nuage de points est défini par :
La formule de la covariance est :
Si r est proche de 1, la corrélation entre x et y est :
Si r est proche de 0, cela signifie :
La pente a de la droite de régression y=ax+b se calcule par :
La droite de régression passe toujours par :
Pour xᵢ : 1, 2, 3 et yᵢ : 2, 4, 6, la pente a de la droite de régression vaut :
Pour la même série (xᵢ : 1,2,3 et yᵢ : 2,4,6), la droite de régression obtenue est :
Le coefficient de corrélation r vérifie toujours :
Si Cov(x,y) est négative, la liaison entre x et y est :
