Structure d'espace vectoriel, familles libres et bases, applications linéaires (noyau, image, théorème du rang) et applications affines.
Un ensemble E muni d'une addition interne + et d'une multiplication externe par un réel ⋅ est un espace vectoriel réel si (E,+) est un groupe commutatif et si pour tous λ, μ ∈ ℝ et u, v ∈ E : λ(u+v) = λu+λv, (λ+μ)u = λu+μu, λ(μu) = (λμ)u, 1·u = u.
F ⊂ E est un sous-espace vectoriel de E si F ≠ ∅ (ou 0 ∈ F) et F est stable par combinaison linéaire : pour tous u, v ∈ F et λ, μ ∈ ℝ, λu + μv ∈ F.
Dans ℝ³, F = {(x,y,z) : x + y − z = 0} est un sous-espace vectoriel : (0,0,0) ∈ F, et si (x,y,z), (x′,y′,z′) ∈ F, alors λ(x,y,z)+μ(x′,y′,z′) vérifie encore l'équation (combinaison linéaire de deux équations nulles).
Une famille (u₁,…,uₙ) est libre si λ₁u₁+…+λₙuₙ = 0 implique λ₁=…=λₙ=0. Elle est génératrice de E si tout vecteur de E est combinaison linéaire des uᵢ. Une base est une famille libre et génératrice ; le nombre de vecteurs d'une base est la dimension de E.
Dans ℝ², u=(1,2) et v=(3,1) : λ(1,2)+μ(3,1)=(0,0) donne λ+3μ=0 et 2λ+μ=0, soit λ=μ=0 (déterminant 1×1−3×2=−5≠0). La famille est libre, donc c'est une base de ℝ² (dimension 2).
f : E → F est linéaire si f(u+v) = f(u)+f(v) et f(λu) = λf(u) pour tous u,v ∈ E, λ ∈ ℝ. Le noyau Ker f = {u ∈ E : f(u) = 0} et l'image Im f = {f(u) : u ∈ E} sont des sous-espaces vectoriels.
Si E est de dimension finie : dim E = dim Ker f + dim Im f.
g est affine s'il existe une application linéaire φ (sa partie linéaire) telle que pour tout M, N : le vecteur g(M)g(N) = φ(vecteur MN). Translations et homothéties sont des applications affines particulières.
F = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : 2x − y + z = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ³.
(0,0,0) vérifie 2×0−0+0=0, donc 0 ∈ F. Soient (x,y,z),(x′,y′,z′) ∈ F et λ,μ ∈ ℝ : λ(x,y,z)+μ(x′,y′,z′) = (λx+μx′, λy+μy′, λz+μz′). On calcule 2(λx+μx′)−(λy+μy′)+(λz+μz′) = λ(2x−y+z)+μ(2x′−y′+z′) = λ×0+μ×0 = 0. Donc la combinaison appartient à F : F est un sous-espace vectoriel de ℝ³.
u = (2,−1) et v = (−4,2). La famille (u,v) est-elle libre dans ℝ² ?
On remarque que v = −2u : (−4,2) = −2×(2,−1). Donc v − (−2)u = 0 avec des coefficients non tous nuls (1 et 2).
La famille est liée (v est colinéaire à u) : elle ne peut pas être une base de ℝ².
f : ℝ² → ℝ² définie par f(x,y) = (x+y, 2x+2y). Déterminer Ker f, Im f et vérifier le théorème du rang.
Noyau : f(x,y)=(0,0) ⟺ x+y=0 et 2x+2y=0 ⟺ y=−x. Donc Ker f = {(x,−x) : x ∈ ℝ} = Vect((1,−1)), droite vectorielle de dimension 1.
Image : f(x,y) = (x+y)(1,2). Tout vecteur image est colinéaire à (1,2). Donc Im f = Vect((1,2)), dimension 1.
Vérification : dim E = 2 = dim Ker f + dim Im f = 1 + 1 = 2. ✓ Le théorème du rang est vérifié.
Une application affine g du plan a pour partie linéaire l'homothétie vectorielle de rapport 3, et envoie A(1,2) sur A′(5,4). Déterminer le point invariant Ω de g (le centre de l'homothétie affine correspondante) et le rapport.
g est une homothétie affine de rapport k=3. Le point invariant Ω vérifie vecteur ΩA′ = 3·vecteur ΩA, soit A′ − Ω = 3(A − Ω), donc A′ − 3A = Ω − 3Ω = −2Ω, d'où Ω = (3A − A′)/2.
Vérification : vecteur ΩA = (1−(−1), 2−1) = (2,1) ; vecteur ΩA′ = (5−(−1), 4−1) = (6,3) = 3×(2,1). ✓
Ω(−1, 1), rapport k = 3.
Soit f : ℝ³ → ℝ² définie par f(x,y,z) = (x+y−z, 2x+y−z).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour être un sous-espace vectoriel, un ensemble F doit obligatoirement :
Une famille (u,v) de ℝ² est liée si :
Une base d'un espace vectoriel de dimension 3 est constituée de :
Le noyau d'une application linéaire f est :
Si dim E = 5 et dim Ker f = 2, alors dim Im f vaut :
Une application affine est entièrement déterminée par :
Une translation est une application affine dont la partie linéaire est :
f(x,y) = (x, 0) sur ℝ². Ker f est :
Une famille génératrice de E vérifie :
Ker f et Im f sont toujours :
