Translations, homothéties, structure de groupe pour la composition, et affinités du plan.
La translation de vecteur u, notée tu, associe à tout point M le point M′ tel que vecteur MM′ = u.
tu ∘ tv = tu+v : la composée de deux translations est la translation de vecteur somme. En particulier, tu ∘ t−u = identité : toute translation est inversible, d'inverse t−u.
L'homothétie de centre Ω et de rapport k (k ∈ ℝ*) associe à M le point M′ tel que vecteur ΩM′ = k · vecteur ΩM.
Une homothétie de rapport k multiplie les distances par |k| et conserve les angles orientés si k>0 (les inverse si k<0). Elle transforme une droite en droite parallèle, un segment en segment, un cercle de rayon r en cercle de rayon |k|r.
Si h et h′ sont deux homothéties de même centre Ω, de rapports k et k′, alors h′ ∘ h est l'homothétie de centre Ω et de rapport kk′.
L'ensemble des homothéties et translations du plan, muni de la composition ∘, forme un groupe : la composée de deux éléments en est un, l'identité (translation de vecteur nul) en fait partie, et chaque élément admet un inverse dans l'ensemble (translation ↔ translation opposée ; homothétie de rapport k ↔ homothétie de même centre et de rapport 1/k).
Une affinité d'axe (D), de direction Δ et de rapport k transforme M en M′ tel que le projeté de M sur (D) selon la direction Δ soit aussi le projeté de M′, avec vecteur HM′ = k · vecteur HM (H étant ce projeté). C'est une généralisation qui « écrase » ou « étire » dans une seule direction, contrairement à l'homothétie qui agit dans toutes les directions.
A(2,−1). Déterminer l'image A′ de A par la translation de vecteur u(3,4).
vecteur AA′ = u, donc A′ = A + u = (2+3, −1+4) = (5, 3).
Ω(1,1), M(4,3). Déterminer l'image M′ de M par l'homothétie de centre Ω et de rapport k=2.
vecteur ΩM = (4−1, 3−1) = (3,2). vecteur ΩM′ = 2×(3,2) = (6,4). Donc M′ = Ω + (6,4) = (1+6, 1+4) = (7, 5).
h₁ homothétie de centre Ω(0,0) et rapport 3 ; h₂ homothétie de centre Ω et rapport −1/3. Déterminer h₂ ∘ h₁ et donner sa nature.
Les deux homothéties ont le même centre Ω, donc h₂ ∘ h₁ est l'homothétie de centre Ω et de rapport 3×(−1/3) = −1.
L'homothétie de rapport −1 est la symétrie centrale de centre Ω.
t la translation de vecteur u(2,0), h l'homothétie de centre O(0,0) et de rapport 2. Déterminer l'image de M(1,1) par h ∘ t (on applique d'abord t, puis h).
Étape 1 : t(M) = M + u = (1+2, 1+0) = (3,1) = M₁.
Étape 2 : h(M₁) = O + 2×vecteur OM₁ = 2×(3,1) = (6,2).
Image finale : (6, 2).
On considère l'homothétie h de centre A(0,0) et de rapport 2, suivie de l'homothétie h′ de centre B(3,0) et de rapport 1/2 (composée h′ ∘ h).
Calculons l'image de O par h′ ∘ h : h(O) = A + 2×vecteur AO = A + 2×(0,0) = A = (0,0) (car O=A ici, donc h(O)=O). Reprenons avec un point différent, M(1,0) : h(M) = A + 2×vecteur AM = (0,0)+2×(1,0) = (2,0). Puis h′((2,0)) = B + (1/2)×vecteur B(2,0) = (3,0) + (1/2)×(2−3, 0−0) = (3,0) + (1/2)×(−1,0) = (3,0)+(−0,5;0) = (2,5 ; 0).
Le vecteur de la translation est M′M″ = (2,5;0) − (1,0) = (1,5 ; 0) : h′∘h est la translation de vecteur (1,5 ; 0).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
tu ∘ tv est égal à :
Une homothétie de rapport k multiplie les distances par :
Deux homothéties de même centre et de rapports k, k′ se composent en une homothétie de rapport :
L'homothétie de rapport −1 et de centre Ω est :
L'inverse de l'homothétie de centre Ω et de rapport k (k≠0) est :
L'ensemble des homothéties et translations muni de la composition forme :
Une homothétie transforme un cercle de rayon r en un cercle de rayon :
Une affinité, contrairement à une homothétie, agit :
L'élément neutre du groupe des homothéties-translations est :
Ω(2,3), M(5,7), rapport k=−2. L'image M′ de M a pour abscisse :
