Ch. 19 Mathématiques · Terminale Industrielle (TE)

Équations différentielles

Équations différentielles du premier et du second ordre : résolution générale et avec conditions initiales.

1. Équations du premier ordre y′ = ay

Théorème

Les solutions de y′ = ay (a ∈ ℝ) sont les fonctions y(x) = Ce^(ax), C ∈ ℝ constante arbitraire.

Exemple

y′ = 2y a pour solution générale y(x) = Ce^(2x).

2. Équations y′ = ay + b

Méthode

La solution générale est la somme d'une solution particulière constante y_p = −b/a et de la solution générale de l'équation homogène : y(x) = Ce^(ax) − b/a.

Exemple

y′ = 3y − 6 : y_p = −(−6)/3 = 2 (solution constante), donc y(x) = Ce^(3x) + 2.

3. Équations du second ordre y″ + ω²y = 0

Théorème

Les solutions de y″ + ω²y = 0 (ω > 0) sont y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx), A, B ∈ ℝ. Ce type d'équation modélise les oscillations (mouvement harmonique).

4. Détermination des constantes avec conditions initiales

Méthode

On détermine C (ou A, B) grâce à des conditions du type y(0) = y₀ (et y′(0) = y′₀ pour le second ordre), en substituant dans la solution générale.

🧠 À retenir absolument

y′ = ay ⟹ y(x) = Ce^(ax)
y′ = ay+b ⟹ y(x) = Ce^(ax) − b/a
y″ + ω²y = 0 ⟹ y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx)
Toujours vérifier la solution en la substituant dans l'équation d'origine
Les conditions initiales déterminent les constantes de manière unique

Résolution simple

● Facile

Résoudre l'équation différentielle y′ = 3y.

✅ Correction

C'est une équation du type y′ = ay avec a = 3. Solution générale : y(x) = Ce^(3x), C ∈ ℝ.

Avec condition initiale

● Facile

Résoudre y′ = −2y avec y(0) = 5.

✅ Correction

Solution générale : y(x) = Ce^(−2x). Condition initiale : y(0) = Ce⁰ = C = 5.

y(x) = 5e^(−2x).

Équation y′ = ay + b

● Moyen

Résoudre y′ = 2y + 4.

✅ Correction

Solution particulière constante : y_p = −b/a = −4/2 = −2. Vérification : y_p′ = 0 = 2×(−2)+4 = −4+4 = 0. ✓

Solution générale : y(x) = Ce^(2x) − 2, C ∈ ℝ.

Second ordre avec conditions initiales

● Moyen

Résoudre y″ + 4y = 0 sachant que y(0) = 1 et y′(0) = 0.

✅ Correction

ω² = 4 donc ω = 2. Solution générale : y(x) = A cos(2x) + B sin(2x).

y(0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 1.

y′(x) = −2A sin(2x) + 2B cos(2x) ; y′(0) = 2B = 0, donc B = 0.

y(x) = cos(2x).

Problème de synthèse — décroissance radioactive

● Difficile

La masse m(t) d'une substance radioactive vérifie m′(t) = −λm(t), où λ > 0 est la constante de désintégration, avec m(0) = m₀.

Déterminer m(t) en fonction de m₀, λ et t.
La demi-vie T est le temps au bout duquel la masse est divisée par 2. Montrer que T = ln(2)/λ.
Pour λ = 0,1 an⁻¹ et m₀ = 200 g, calculer T (arrondir à 0,1 près, ln(2) ≈ 0,693) et la masse restante après 20 ans.

✅ Correction

m′ = −λm est du type y′=ay avec a=−λ. Solution : m(t) = Ce^(−λt). m(0)=C=m₀. Donc m(t) = m₀e^(−λt).
m(T) = m₀/2 ⟺ m₀e^(−λT) = m₀/2 ⟺ e^(−λT) = 1/2 ⟺ −λT = ln(1/2) = −ln(2) ⟺ T = ln(2)/λ.
T = 0,693/0,1 = 6,9 ans (environ).
m(20) = 200 × e^(−0,1×20) = 200 × e^(−2) ≈ 200 × 0,1353 ≈ 27,1 g.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Les solutions de y′ = 5y sont :

Question 2 / 10

La solution particulière constante de y′ = 4y − 8 est :

Question 3 / 10

Les solutions de y″ + 9y = 0 sont de la forme :

Question 4 / 10

Si y(x) = Ce^(2x) et y(0) = 3, alors C vaut :

Question 5 / 10

Une équation du type y′ = ay + b a pour solution générale :

Question 6 / 10

Pour déterminer les 2 constantes A et B d'une équation du second ordre, il faut :

Question 7 / 10

La demi-vie T d'une décroissance m′=−λm vérifie :

Question 8 / 10

La fonction y(x) = 2e^(3x) est solution de :

Question 9 / 10

L'équation y″ + ω²y = 0 modélise typiquement :

Question 10 / 10

Pour y′ = −y + 3, la solution particulière constante est :