Vecteurs de l'espace, produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte et transformations de l'espace.
Dans un repère (O, i, j, k) de l'espace, un vecteur u a pour coordonnées (x,y,z). Sa norme est ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
u(2,−1,2) : ‖u‖ = √(4+1+4) = √9 = 3.
Pour u(x,y,z) et v(x′,y′,z′) : u·v = xx′ + yy′ + zz′. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0.
Pour u(x,y,z) et v(x′,y′,z′) : u ∧ v = (yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′). C'est un vecteur orthogonal à u et à v ; sa norme est l'aire du parallélogramme construit sur u et v.
Le produit mixte (u,v,w) = u·(v∧w) donne le volume du parallélépipède construit sur u,v,w (en valeur absolue). u, v, w sont coplanaires si et seulement si (u,v,w) = 0.
La symétrie par rapport à un plan P envoie M sur M′ tel que P soit le plan médiateur de [MM′]. La symétrie par rapport à une droite (D) envoie M sur M′ tel que (D) soit perpendiculaire à [MM′] en son milieu. L'homothétie de l'espace de centre Ω et rapport k envoie M sur M′ tel que vecteur ΩM′ = k·vecteur ΩM, comme dans le plan.
Calculer la norme du vecteur u(3, −4, 12).
‖u‖ = √(3²+(−4)²+12²) = √(9+16+144) = √169 = 13.
u(1,2,−1) et v(3,−1,1). Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ?
u·v = 1×3 + 2×(−1) + (−1)×1 = 3 − 2 − 1 = 0.
u·v = 0 : u et v sont orthogonaux.
u(1,0,0) et v(0,1,0). Calculer u∧v et en déduire l'aire du parallélogramme construit sur u et v.
u∧v = (yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′) = (0×0−0×1, 0×0−1×0, 1×1−0×0) = (0,0,1).
Aire = ‖u∧v‖ = √(0²+0²+1²) = 1 (cohérent : u et v sont les vecteurs unitaires des axes x et y, le parallélogramme est un carré de côté 1).
u(1,0,0), v(0,1,0), w(1,1,0). Les vecteurs u, v, w sont-ils coplanaires ? Justifier avec le produit mixte.
v∧w = (1×0−0×1, 0×1−0×0, 0×1−1×1) = (0,0,−1).
(u,v,w) = u·(v∧w) = (1,0,0)·(0,0,−1) = 1×0+0×0+0×(−1) = 0.
Le produit mixte est nul : u, v, w sont coplanaires (les trois vecteurs sont dans le plan z=0, ce qui est cohérent puisque toutes leurs coordonnées z sont nulles).
On donne A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(0,0,2).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La norme du vecteur u(1,2,2) est :
Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si :
Le vecteur u∧v est :
La norme de u∧v est égale à :
Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement si :
Le volume d'un tétraèdre ABCD est donné par :
Une symétrie par rapport à un plan P envoie M sur M′ tel que :
u(2,0,0) et v(0,3,0). u·v vaut :
Une homothétie de l'espace de rapport k transforme un volume V en un volume :
u(1,1,1) et v(1,1,1). Le produit vectoriel u∧v vaut :
