Objectif Général 1 — Analyse : généralités et nombres complexes. Limites, continuité, dérivabilité et théorèmes fondamentaux (TVI, TAF) sur les fonctions numériques.
Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel a (sauf peut-être en a). On dit que f a pour limite L en a, et on note lim x→a f(x) = L, si f(x) se rapproche indéfiniment de L lorsque x se rapproche de a.
Les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient de fonctions se calculent en combinant les limites de chaque fonction, comme pour les suites — sauf dans les quatre cas de formes indéterminées : 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞.
Calculer lim x→2 (x²−4)/(x−2) — forme 0/0 : on factorise.
Calculer lim x→+∞ (3x²+2x)/(x²−5) : on met en facteur le terme de plus haut degré, le rapport tend vers 3 (rapport des coefficients dominants).
f est continue en a si f est définie en a et si lim x→a f(x) = f(a). f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Soit f(x) = (x²−1)/(x−1) pour x≠1, et f(1)=k. Déterminer k pour que f soit continue en 1.
Il faut donc k = 2 pour assurer la continuité en 1.
Si f est continue sur [a,b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.
Si de plus f est strictement monotone sur [a,b], alors ce réel c est unique.
Montrer que f(x) = x³ − 3x + 1 s'annule au moins une fois sur [0,1].
f est continue sur [0,1] (fonction polynôme). f(0) = 1 > 0 et f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0. Comme 0 est compris entre f(1) et f(0), le TVI garantit l'existence d'un c ∈ ]0,1[ tel que f(c) = 0.
f est dérivable en a si le taux d'accroissement [f(a+h)−f(a)]/h admet une limite finie quand h→0 ; cette limite est le nombre dérivé f'(a). Toute fonction dérivable en a y est continue.
Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que :
Appliquer le TAF à f(x) = x² sur [1,3].
c = 2 appartient bien à ]1,3[ : le théorème est vérifié.
Calculer les limites suivantes :
Soit f(x) = (x²−1)/(x−1) pour x≠1, et f(1) = k. Déterminer k pour que f soit continue en 1.
lim x→1 (x²−1)/(x−1) = lim x→1 (x−1)(x+1)/(x−1) = x+1 → 2. Pour la continuité en 1, il faut f(1) = lim x→1 f(x), donc k = 2.
Montrer que l'équation x³ − 4x + 2 = 0 admet une solution unique dans [0,1], puis en donner un encadrement d'amplitude 0,1.
f(x) = x³ − 4x + 2 est continue sur [0,1] (polynôme). f(0) = 2 > 0 et f(1) = 1 − 4 + 2 = −1 < 0.
f'(x) = 3x² − 4, qui est négative sur [0,1] (car 3x² ≤ 3 < 4), donc f est strictement décroissante sur [0,1] : d'après le corollaire du TVI, il existe une unique solution c ∈ ]0,1[.
f(0,5) = 0,125 − 2 + 2 = 0,125 > 0 et f(0,6) = 0,216 − 2,4 + 2 = −0,184 < 0, donc c ∈ ]0,5 ; 0,6[.
Soit f(x) = √x sur [1,4]. Déterminer la valeur c donnée par le théorème des accroissements finis.
f(4) − f(1) = 2 − 1 = 1. f'(x) = 1/(2√x).
c = 2,25 appartient bien à ]1,4[ : le théorème est vérifié.
Soit f(x) = x³ − 3x² + 2 définie sur ℝ.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
lim x→2 (x²−4)/(x−2) est égale à :
Une fonction f est continue en a lorsque :
Si f est continue sur [a,b] avec f(a) < 0 < f(b), le TVI garantit :
Les hypothèses nécessaires pour appliquer le TAF sur [a,b] sont :
Pour f(x) = x² sur [1,3], la valeur c donnée par le TAF est :
Une forme indéterminée 0/0 se lève le plus souvent par :
lim x→+∞ (5x+1)/(x−3) est égale à :
Le TVI garantit l'unicité de la solution c si, en plus de la continuité, f est :
Si f est dérivable en a, alors f est nécessairement :
Pour f(x) = x³ − 3x + 1 sur [0,1], le TVI permet d'affirmer l'existence d'une racine car :
