Objectif Général 1 — Analyse : généralités et nombres complexes. Forme algébrique, trigonométrique, exponentielle, équations et racines n-ièmes.
L'ensemble des nombres complexes ℂ est l'ensemble des nombres de la forme z = a + bi, où a, b ∈ ℝ et i vérifie i² = −1. a = Re(z) est la partie réelle, b = Im(z) la partie imaginaire. Si b = 0, z est réel ; si a = 0, z est dit imaginaire pur.
Le conjugué de z = a + bi est z̄ = a − bi. On a les propriétés : z + z̄ = 2a (réel), z × z̄ = a² + b² (réel positif), et (z+z')‾ = z̄+z̄', (zz')‾ = z̄ × z̄'.
Addition : (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i. Multiplication : (a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i. Pour diviser, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Calculer (2+3i)(1−2i) :
Calculer (1+2i)/(3−i), en multipliant par le conjugué 3+i :
Le module de z = a+bi est |z| = √(a²+b²), distance de l'origine au point d'affixe z. Pour z ≠ 0, un argument θ = arg(z) est un angle (défini modulo 2π) tel que cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z|.
z = |z|(cos θ + i sin θ) = r(cos θ + i sin θ), avec r = |z| > 0.
|zz'| = |z|×|z'| et arg(zz') = arg(z) + arg(z') (mod 2π). |z/z'| = |z|/|z'| et arg(z/z') = arg(z) − arg(z') (mod 2π).
Écrire z = 1 + i√3 sous forme trigonométrique.
Donc z = 2(cos π/3 + i sin π/3).
e^(iθ) = cos θ + i sin θ. La forme exponentielle de z s'écrit z = r e^(iθ), avec r = |z| et θ = arg(z).
Pour tout entier n : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ), soit (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ). En forme exponentielle, un produit multiplie les modules et additionne les arguments.
Calculer (1+i)⁸. On a 1+i = √2 e^(iπ/4) (module √2, argument π/4).
On calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes (−b±√Δ)/2a. Si Δ = 0 : racine double −b/2a. Si Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées z = (−b ± i√(−Δ))/2a.
Soit a = ρe^(iφ) un complexe non nul. L'équation zⁿ = a admet exactement n solutions distinctes :
Résoudre z² − 2z + 5 = 0 : Δ = 4 − 20 = −16 < 0.
Racines cubiques de −8 : −8 = 8e^(iπ), donc z_k = 2e^(i(π+2kπ)/3), k=0,1,2, soit 1+i√3, −2, 1−i√3.
Calculer (3+2i)(1−i), donner le résultat sous forme algébrique, puis calculer le conjugué de ce résultat.
(3+2i)(1−i) = 3 − 3i + 2i − 2i² = 3 − 3i + 2i + 2 = 5 − i.
Le conjugué de 5 − i est 5 + i.
Déterminer le module et un argument de z = √3 − i, puis écrire z sous forme trigonométrique.
|z| = √((√3)²+(−1)²) = √(3+1) = 2.
cos θ = √3/2, sin θ = −1/2 ⟹ θ = −π/6.
Donc z = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)).
Résoudre dans ℂ l'équation z² + 2z + 5 = 0.
Δ = 2² − 4×1×5 = 4 − 20 = −16 < 0 : deux racines complexes conjuguées.
Les solutions sont z₁ = −1 + 2i et z₂ = −1 − 2i.
En utilisant la forme exponentielle, calculer (√3+i)⁶.
|√3+i| = √(3+1) = 2. cos θ = √3/2, sin θ = 1/2 ⟹ θ = π/6. Donc √3+i = 2e^(iπ/6).
Déterminer les trois racines cubiques de 8i, sous forme algébrique.
8i = 8e^(iπ/2) (module 8, argument π/2). Les racines cubiques sont :
k=0 : angle π/6, z₀ = 2(cos30° + i sin30°) = 2(√3/2 + i/2) = √3 + i.
k=1 : angle 5π/6, z₁ = 2(cos150° + i sin150°) = 2(−√3/2 + i/2) = −√3 + i.
k=2 : angle 3π/2, z₂ = 2(cos270° + i sin270°) = −2i.
Vérification : (−2i)³ = −8i³ = −8×(−i) = 8i ✓
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
i² est égal à :
Le conjugué de z = 3 − 4i est :
Le module de z = 3 + 4i est :
La forme exponentielle de z = r(cos θ + i sin θ) s'écrit :
La formule de Moivre s'écrit (cos θ + i sin θ)ⁿ = :
Si Δ < 0 pour az²+bz+c=0 (a,b,c réels), les solutions sont :
(1+i)² est égal à :
Un nombre complexe non nul a admet exactement, pour zⁿ = a :
r₁e^(iθ₁) × r₂e^(iθ₂) est égal à :
Pour z = a + bi, le produit z × z̄ est égal à :
