Objectif Général 5 — Fonctions vectorielles et courbes paramétrées. Vecteur dérivé, points réguliers et singuliers, tangente en un point, étude complète d'un arc paramétré.
Une fonction vectorielle associe à tout réel t d'un intervalle I un vecteur (ou point) du plan M(t) de coordonnées x(t) et y(t), où x et y sont des fonctions numériques dérivables sur I. On écrit :
L'ensemble des points M(t) lorsque t décrit I est la courbe paramétrée (ou arc paramétré) de représentation x = x(t), y = y(t). Le réel t est le paramètre.
Le cercle de centre O et de rayon R admet pour représentation paramétrique x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t ∈ [0 ; 2π[. En effet, x(t)² + y(t)² = R²cos²t + R²sin²t = R²(cos²t+sin²t) = R² : tous les points M(t) sont bien sur le cercle de rayon R.
Si x et y sont dérivables en t0, le vecteur dérivé de la fonction vectorielle en t0 est le vecteur de coordonnées :
Le point M(t0) est dit régulier si OM'(t0) ≠ (0;0) (vecteur non nul), et singulier (ou stationnaire) si x'(t0) = 0 ET y'(t0) = 0 simultanément.
Pour x(t) = t² − 4, y(t) = t³ − 3t, on a x'(t) = 2t et y'(t) = 3t² − 3. En t0 = 0 : x'(0) = 0 et y'(0) = −3 ≠ 0, donc OM'(0) = (0 ; −3) ≠ (0;0) : M(0) est un point régulier (même si x'(0) = 0).
En un point régulier M(t0), la courbe admet une tangente dirigée par le vecteur dérivé OM'(t0). Trois cas se présentent :
En t0 = 0 : M(0) = (−4 ; 0), OM'(0) = (0 ; −3). Comme x'(0) = 0 et y'(0) ≠ 0, la tangente est verticale : x = −4.
En t0 = 1 : M(1) = (1−4 ; 1−3) = (−3 ; −2). x'(1) = 2, y'(1) = 3−3 = 0. Comme y'(1) = 0 et x'(1) ≠ 0, la tangente est horizontale : y = −2.
En t0 = 2 : M(2) = (0 ; 2). x'(2) = 4, y'(2) = 12−3 = 9. Coefficient directeur = 9/4. Tangente : y − 2 = (9/4)(x − 0), soit y = (9/4)x + 2.
Pour x(t) = t² − 4, y(t) = t³ − 3t sur ℝ : x est paire et y est impaire, donc M(−t) est le symétrique de M(t) par rapport à l'axe (Ox). On étudie sur [0 ; +∞[, puis on complète par symétrie.
Sur [0 ; +∞[ : x'(t) = 2t ≥ 0 (x croissante). y'(t) = 3t² − 3 = 3(t−1)(t+1), négatif sur [0;1[, nul en t=1, positif sur ]1;+∞[ (y décroît puis croît).
| t | 0 | 1 | 2 | → +∞ |
|---|---|---|---|---|
| x(t) | −4 | −3 | 0 | +∞ |
| y(t) | 0 | −2 (min) | 2 | +∞ |
On donne x(t) = 2t + 1 et y(t) = t² − 3. Calculer les coordonnées de M(2) puis du vecteur dérivé OM'(2).
x(2) = 2×2+1 = 5 et y(2) = 2²−3 = 4−3 = 1, donc M(2) = (5 ; 1).
x'(t) = 2 et y'(t) = 2t, donc x'(2) = 2 et y'(2) = 2×2 = 4 : OM'(2) = (2 ; 4).
On donne x(t) = t³ et y(t) = t². Le point M(0) est-il régulier ou singulier ? Justifier.
x'(t) = 3t² et y'(t) = 2t. En t0 = 0 : x'(0) = 3×0² = 0 et y'(0) = 2×0 = 0.
Comme x'(0) = 0 et y'(0) = 0 simultanément, OM'(0) = (0;0) : M(0) est un point singulier (stationnaire). C'est le point de rebroussement classique de la courbe x=t³, y=t².
On donne x(t) = t² + 1 et y(t) = 2t³ − t. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point de paramètre t0 = 1.
x(1) = 1+1 = 2 et y(1) = 2−1 = 1, donc M(1) = (2 ; 1).
x'(t) = 2t et y'(t) = 6t²−1, donc x'(1) = 2 et y'(1) = 6−1 = 5. Comme x'(1) ≠ 0, coefficient directeur = 5/2.
Tangente : y − 1 = (5/2)(x − 2), soit y = (5/2)x − 5 + 1, d'où y = (5/2)x − 4. Vérification en x=2 : y = 5−4 = 1 ✓.
Pour x(t) = t² − 4 et y(t) = t³ − 3t (courbe étudiée en cours), déterminer l'équation de la tangente au point de paramètre t0 = 2.
x(2) = 4−4 = 0 et y(2) = 8−6 = 2, donc M(2) = (0 ; 2).
x'(t) = 2t donc x'(2) = 4. y'(t) = 3t²−3 donc y'(2) = 12−3 = 9. x'(2) ≠ 0, coefficient directeur = 9/4.
Tangente : y − 2 = (9/4)(x − 0), soit y = (9/4)x + 2.
On considère la courbe paramétrée (une cycloïde) définie par x(t) = t − sin t et y(t) = 1 − cos t, t ∈ ℝ.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le vecteur dérivé OM'(t0) d'une fonction vectorielle a pour coordonnées :
Un point M(t0) d'une courbe paramétrée est dit régulier lorsque :
Si x'(t0) = 0 et y'(t0) ≠ 0, la tangente en M(t0) est :
Si y'(t0) = 0 et x'(t0) ≠ 0, la tangente en M(t0) est :
En un point régulier où x'(t0) ≠ 0, le coefficient directeur de la tangente vaut :
Pour x(t) = t² − 4 et y(t) = t³ − 3t, la dérivée x'(t) est égale à :
Pour cette même courbe, la dérivée y'(t) est égale à :
Pour cette courbe, la tangente au point de paramètre t0 = 0 est :
Toujours pour cette courbe, la tangente au point de paramètre t0 = 1 est :
Pour la cycloïde x(t) = t − sin t, y(t) = 1 − cos t, les points singuliers correspondent à :
