Objectif Général 5 — Statistique descriptive à deux variables. Nuage de points, point moyen, covariance et variances, ajustement affine par la méthode des moindres carrés, coefficient de corrélation linéaire.
Une série statistique double associe à n individus deux caractères quantitatifs, donnant n couples (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn). Dans un repère du plan, l'ensemble des points Mi(xi ; yi) est le nuage de points associé à la série.
Le point moyen du nuage est le point G(x̄ ; ȳ) défini par :
On considère la série : xi = 1, 2, 3, 4, 5 et yi = 2, 3, 5, 4, 6.
Σxi = 1+2+3+4+5 = 15, donc x̄ = 15/5 = 3.
Σyi = 2+3+5+4+6 = 20, donc ȳ = 20/5 = 4. Point moyen : G(3 ; 4).
La covariance de la série double mesure la façon dont x et y varient ensemble :
Les variances marginales, avec les écarts-types associés σx = √V(x) et σy = √V(y) :
Σxiyi = 1×2+2×3+3×5+4×4+5×6 = 2+6+15+16+30 = 69, donc Cov(x,y) = 69/5 − 3×4 = 13,8 − 12 = 1,8.
Σxi² = 1+4+9+16+25 = 55, donc V(x) = 55/5 − 3² = 11 − 9 = 2.
Σyi² = 4+9+25+16+36 = 90, donc V(y) = 90/5 − 4² = 18 − 16 = 2.
La droite D : y = ax + b qui minimise la somme des carrés des écarts Σ(yi − (axi+b))² (méthode des moindres carrés) est appelée droite de régression de y en x. Ses coefficients sont :
Cette droite passe toujours par le point moyen G(x̄ ; ȳ) du nuage.
a = 1,8 / 2 = 0,9 et b = 4 − 0,9×3 = 4 − 2,7 = 1,3.
Droite de régression : y = 0,9x + 1,3. Vérification en x̄ = 3 : y = 0,9×3+1,3 = 2,7+1,3 = 4 = ȳ ✓ (la droite passe bien par G).
Le coefficient de corrélation linéaire mesure la qualité de l'ajustement affine :
On admet que −1 ≤ r ≤ 1.
| Valeur de |r| | Interprétation |
|---|---|
| |r| proche de 1 | corrélation linéaire forte, ajustement affine bien adapté |
| |r| proche de 0,5 | corrélation linéaire modérée |
| |r| proche de 0 | pas de corrélation linéaire (autre type de lien possible) |
σx = √2 et σy = √2, donc r = 1,8 / (√2×√2) = 1,8 / 2 = 0,9.
r = 0,9 est proche de 1 : la corrélation linéaire est forte et positive, l'ajustement affine est bien adapté à ce nuage.
On donne la série double : xi = 0, 1, 2, 3, 4 et yi = 1, 3, 4, 6, 7. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage.
n = 5. Σxi = 0+1+2+3+4 = 10, donc x̄ = 10/5 = 2.
Σyi = 1+3+4+6+7 = 21, donc ȳ = 21/5 = 4,2.
Point moyen : G(2 ; 4,2).
On donne la série double : xi = 1, 2, 3, 4 et yi = 3, 5, 6, 8. Déterminer l'équation de la droite de régression de y en x.
n = 4. x̄ = 10/4 = 2,5 ; ȳ = 22/4 = 5,5.
Σxiyi = 1×3+2×5+3×6+4×8 = 3+10+18+32 = 63, donc Cov(x,y) = 63/4 − 2,5×5,5 = 15,75 − 13,75 = 2.
Σxi² = 1+4+9+16 = 30, donc V(x) = 30/4 − 2,5² = 7,5 − 6,25 = 1,25.
a = 2 / 1,25 = 1,6 et b = 5,5 − 1,6×2,5 = 5,5 − 4 = 1,5.
Droite de régression : y = 1,6x + 1,5.
On donne la série double : xi = 2, 4, 6, 8, 10 et yi = 5, 7, 8, 12, 13. Calculer le coefficient de corrélation linéaire r et conclure sur la pertinence d'un ajustement affine.
n = 5. x̄ = 30/5 = 6 ; ȳ = 45/5 = 9.
Σxiyi = 2×5+4×7+6×8+8×12+10×13 = 10+28+48+96+130 = 312, donc Cov(x,y) = 312/5 − 6×9 = 62,4 − 54 = 8,4.
Σxi² = 4+16+36+64+100 = 220, donc V(x) = 220/5 − 36 = 44 − 36 = 8.
Σyi² = 25+49+64+144+169 = 451, donc V(y) = 451/5 − 81 = 90,2 − 81 = 9,2.
σx = √8 ≈ 2,828 et σy = √9,2 ≈ 3,033, donc r = 8,4 / (2,828×3,033) ≈ 8,4/8,577 ≈ 0,98.
r ≈ 0,98 est très proche de 1 : la corrélation linéaire est très forte, un ajustement affine est pleinement justifié.
Soit D la droite d'équation y = ax + b avec b = ȳ − a x̄. Montrer que le point moyen G(x̄ ; ȳ) appartient à D, quel que soit le réel a.
On remplace x par x̄ dans l'équation de D :
On obtient exactement l'ordonnée ȳ. Le point G(x̄ ; ȳ) vérifie donc l'équation de D pour n'importe quelle valeur de a : G appartient toujours à la droite D. C'est pourquoi toute droite de régression construite avec b = ȳ − a x̄ passe par le point moyen du nuage.
Une entreprise a relevé, sur 5 semaines, la quantité x (en tonnes) de matière première livrée et le coût y (en milliers de FCFA) de transport correspondant : xi = 0, 2, 4, 6, 8 et yi = 5, 9, 12, 18, 21.
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L'abscisse du point moyen d'un nuage de n points est donnée par :
La covariance Cov(x,y) est donnée par la formule :
Le coefficient directeur a de la droite de régression de y en x vaut :
Pour la série xi = 1,2,3,4,5 et yi = 2,3,5,4,6, l'abscisse du point moyen x̄ vaut :
Pour cette même série (x̄=3, ȳ=4, Σxiyi=69), la covariance Cov(x,y) vaut :
Toujours pour cette série (Cov=1,8 ; V(x)=2), le coefficient a de la droite de régression vaut :
Avec a = 0,9, x̄ = 3 et ȳ = 4, l'ordonnée à l'origine b = ȳ − a x̄ vaut :
Le coefficient de corrélation linéaire r est défini par :
Pour la série de référence (Cov=1,8 ; σx=σy=√2), le coefficient r vaut :
Un coefficient r = 0,9 signifie que :
