Objectif Général 1 — Analyse. Forme algébrique, conjugué et module, forme trigonométrique et exponentielle, équations du second degré et racines n-ièmes.
L'ensemble ℂ des nombres complexes contient ℝ et un nombre i tel que i² = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de façon unique sous forme algébrique :
z = a + ib, avec a = Re(z) la partie réelle et b = Im(z) la partie imaginaire (a, b ∈ ℝ).
L'addition et la multiplication se font comme sur les polynômes, en remplaçant i² par −1 :
(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
(a+ib)(c+id) = (ac−bd) + i(ad+bc)
z₁ = 3+4i, z₂ = 1−2i.
z₁ + z₂ = (3+1) + i(4−2) = 4 + 2i.
z₁ × z₂ = (3×1 − 4×(−2)) + i(3×(−2) + 4×1) = (3+8) + i(−6+4) = 11 − 2i.
Le conjugué de z = a+ib est z̄ = a−ib. Le module de z est |z| = √(a²+b²), distance de l'origine au point d'affixe z.
z × z̄ = a²+b² = |z|² (toujours un réel positif). Le module vérifie |z₁×z₂| = |z₁|×|z₂| et |z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂|.
z = 3+4i. Conjugué : z̄ = 3−4i. Module : |z| = √(3²+4²) = √25 = 5.
Vérification : z×z̄ = (3+4i)(3−4i) = 9 − 16i² = 9+16 = 25 = |z|². ✓
Pour z ≠ 0 de module r = |z| et d'argument θ (angle entre l'axe des réels et le vecteur d'affixe z), on écrit :
Forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ). Forme exponentielle (formule d'Euler) : z = r·e^(iθ).
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) pour tout entier n.
z = 1 + i√3 : r = √(1+3) = 2 ; cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 ⟹ θ = π/3. Donc z = 2(cos π/3 + i sin π/3) = 2e^(iπ/3).
Calcul de (1+i)⁸ : 1+i a pour module √2 et argument π/4, donc (1+i)⁸ = (√2)⁸ × e^(i×8×π/4) = 16 × e^(i2π) = 16.
On calcule Δ = b² − 4ac.
z² − 2z + 5 = 0. Δ = 4 − 20 = −16 < 0, √(−Δ) = √16 = 4. Solutions : z = (2 ± 4i)/2 = 1 + 2i ou 1 − 2i.
Vérification : (1+2i)² − 2(1+2i) + 5 = (1+4i−4) − 2 − 4i + 5 = (−3+4i) − 2 − 4i + 5 = 0. ✓
Tout nombre complexe non nul z = r·e^(iθ) admet exactement n racines n-ièmes distinctes, données par :
z_k = r^(1/n) · e^(i(θ+2kπ)/n), pour k = 0, 1, …, n−1.
8 = 8e^(i0). Les racines cubiques sont z_k = 2·e^(i2kπ/3), k = 0,1,2 :
z₀ = 2 ; z₁ = 2e^(i2π/3) = 2(−1/2+i√3/2) = −1+i√3 ; z₂ = 2e^(i4π/3) = −1−i√3.
Vérification : la somme des trois racines vaut 2+(−1+i√3)+(−1−i√3) = 0, cohérent avec l'absence de terme en z² dans z³−8=0.
Soient z₁ = 2−3i et z₂ = −1+5i. Calculer z₁+z₂ et z₁×z₂ sous forme algébrique.
z₁ + z₂ = (2−1) + i(−3+5) = 1 + 2i.
z₁ × z₂ = (2×(−1) − (−3)×5) + i(2×5 + (−3)×(−1)) = (−2+15) + i(10+3) = 13 + 13i.
Soit z = −3+4i. Déterminer z̄ et |z|.
z̄ = −3 − 4i.
|z| = √((−3)²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.
Résoudre dans ℂ l'équation z² + 2z + 10 = 0.
Δ = 2² − 4×1×10 = 4 − 40 = −36 < 0. √(−Δ) = √36 = 6.
Solutions : z = (−2 ± 6i)/2 = −1 + 3i ou −1 − 3i.
Mettre z = √3 − i sous forme trigonométrique puis exponentielle.
Module : r = √((√3)²+(−1)²) = √(3+1) = 2.
Argument : cos θ = √3/2, sin θ = −1/2 ⟹ θ = −π/6.
Donc z = 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)) = 2e^(−iπ/6).
Déterminer les trois racines cubiques de z = 8i, sous forme algébrique.
8i s'écrit sous forme exponentielle 8e^(iπ/2) (module 8, argument π/2).
Les racines cubiques sont z_k = 8^(1/3)·e^(i(π/2+2kπ)/3) = 2·e^(i(π/6+2kπ/3)), pour k=0,1,2 :
Vérification : la somme des trois racines vaut √3+i−√3+i−2i = 0, cohérent avec l'équation z³−8i=0 sans terme en z².
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
i² est égal à :
Le conjugué de z = 5−2i est :
Le module de z = 3+4i est :
z × z̄ est toujours égal à :
La forme exponentielle de z = 1+i est :
Les solutions de z²+1=0 dans ℂ sont :
La formule de Moivre s'écrit (cos θ + i sin θ)ⁿ = :
Si Δ < 0, les solutions de az²+bz+c=0 (a,b,c réels) sont :
Combien de racines n-ièmes distinctes possède un nombre complexe non nul ?
(1+i)⁸ est égal à :
