Objectif Général 1 — Analyse. Ensemble de définition, parité, limites et asymptotes, dérivée et variations, éléments de symétrie, méthode d'étude complète et tracé d'une courbe.
L'ensemble de définition Df d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.
f est paire si Df est symétrique par rapport à 0 et si f(−x) = f(x) pour tout x ∈ Df : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
f est impaire si Df est symétrique par rapport à 0 et si f(−x) = −f(x) pour tout x ∈ Df : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
f est périodique de période T > 0 si f(x+T) = f(x) pour tout x ∈ Df. On peut alors limiter l'étude à un intervalle de longueur T.
f(x) = x³ − 3x : Df = ℝ (symétrique). f(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −(x³ − 3x) = −f(x) : f est impaire, courbe symétrique par rapport à O.
g(x) = 1/(x²−4) : Dg = ℝ \ {−2, 2} (symétrique). g(−x) = 1/((−x)²−4) = 1/(x²−4) = g(x) : g est paire.
La droite d'équation x = a est asymptote verticale à Cf si limx→a f(x) = ±∞.
La droite d'équation y = b est asymptote horizontale en +∞ (ou −∞) si limx→+∞ f(x) = b.
La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique en ±∞ si limx→±∞ [f(x) − (ax+b)] = 0.
On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : f(x) = ax + b + r(x)/D(x). Si r(x)/D(x) → 0 en ±∞, alors y = ax+b est asymptote oblique.
f(x) = (x²−x+1)/(x−1), Df = ℝ \ {1}. Division : x² − x + 1 = (x−1)×x + 1, donc f(x) = x + 1/(x−1).
Quand x→1+, 1/(x−1)→+∞ donc f(x)→+∞ ; quand x→1−, f(x)→−∞ : asymptote verticale x = 1.
Quand x→±∞, 1/(x−1)→0 donc f(x) − x → 0 : asymptote oblique y = x.
f est croissante sur un intervalle I si f'(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I (strictement croissante si f' > 0 sauf en des points isolés). f est décroissante sur I si f'(x) ≤ 0 sur I.
1. Déterminer Df. 2. Calculer f'(x). 3. Résoudre f'(x) = 0 et étudier le signe de f'. 4. Calculer les limites aux bornes de Df. 5. Construire le tableau en indiquant flèches, extrema et limites.
f'(x) = 1 − 1/(x−1)² = [(x−1)² − 1] / (x−1)² = [x² − 2x] / (x−1)² = x(x−2) / (x−1)².
Le dénominateur (x−1)² est toujours positif : le signe de f' est celui de x(x−2), négatif sur ]0,2[, positif ailleurs.
f est donc croissante sur ]−∞,0], décroissante sur [0,1[ et sur ]1,2], croissante sur [2,+∞[.
f(0) = 0 + 1/(−1) = −1 (maximum local sur ]−∞,1[) ; f(2) = 2 + 1/1 = 3 (minimum local sur ]1,+∞[).
Le point I(a,b) est centre de symétrie de Cf si, pour tout h tel que a−h et a+h appartiennent à Df :
f(a+h) + f(a−h) = 2b
La droite x = a est axe de symétrie de Cf si pour tout h : f(a+h) = f(a−h).
Montrer que I(1,1) est centre de symétrie de Cf pour f(x) = x + 1/(x−1).
f(1+h) = 1+h + 1/h et f(1−h) = 1−h − 1/h. Somme : f(1+h) + f(1−h) = (1+h+1/h) + (1−h−1/h) = 2 = 2×1. ✓
Donc I(1,1) est bien centre de symétrie de la courbe.
Df = ℝ\{1} ; asymptotes x=1 et y=x ; tableau de variations vu au §3 ; centre de symétrie I(1,1).
Intersection avec (Oy) : f(0) = −1, point (0,−1). Intersection avec (Ox) : f(x)=0 ⟺ x²−x+1=0, Δ = 1−4 = −3 < 0 : aucune intersection avec l'axe des abscisses.
Étudier la parité des fonctions suivantes :
1. Df = ℝ (symétrique). f(−x) = (−x)⁴ − 2(−x)² + 1 = x⁴ − 2x² + 1 = f(x) : f est paire.
2. Dg = ℝ (symétrique). g(−x) = (−x)³ + (−x) = −x³ − x = −(x³+x) = −g(x) : g est impaire.
Soit h(x) = 1/(x+2) + 3. Déterminer Dh et les asymptotes de sa courbe.
Dh = ℝ \ {−2}.
Quand x→−2, 1/(x+2)→±∞ : asymptote verticale x = −2.
Quand x→±∞, 1/(x+2)→0 donc h(x)→3 : asymptote horizontale y = 3.
Soit f(x) = x² − 4x + 3 sur ℝ. Étudier son sens de variation et déterminer son minimum.
f'(x) = 2x − 4, qui s'annule en x = 2. f'(x) < 0 pour x < 2 (f décroissante) et f'(x) > 0 pour x > 2 (f croissante).
Minimum en x=2 : f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
Soit k(x) = (2x²+3x−1)/(x+1). Déterminer Dk et les asymptotes de sa courbe.
Dk = ℝ \ {−1}. Division euclidienne : 2x²+3x−1 = (x+1)(2x+1) − 2, donc k(x) = 2x + 1 − 2/(x+1).
Quand x→−1, −2/(x+1)→±∞ : asymptote verticale x = −1.
Quand x→±∞, −2/(x+1)→0 : asymptote oblique y = 2x + 1.
Soit f(x) = (x²−2x)/(x−1).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition de f(x) = 1/(x−3) est :
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à :
La fonction f(x) = x³ est :
Si limx→2 f(x) = +∞, la courbe de f admet :
L'asymptote horizontale de f(x) = 3 + 2/(x−1) en +∞ est :
Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est :
Pour f(x) = x + 1/(x−1), l'asymptote oblique est :
Le centre de symétrie de la courbe de f(x) = x + 1/(x−1) est le point :
Pour montrer que I(a,b) est centre de symétrie de Cf, il faut vérifier que pour tout h :
La fonction g(x) = (2x²+3x−1)/(x+1) admet pour asymptote oblique :
