Objectif Général 3 — Analyse. Étude des fonctions logarithme népérien, exponentielle et fonctions puissances : définitions, propriétés algébriques, limites, dérivées et croissances comparées.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0 ; +∞[. C'est l'unique primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction x ↦ 1/x qui s'annule en x = 1. On a donc ln(1) = 0 et (ln x)' = 1/x.
ln(ab) = ln a + ln b ln(a/b) = ln a − ln b ln(aⁿ) = n·ln a ln(1/a) = −ln a ln(√a) = (1/2)ln a
Limites : lim(x→0⁺) ln x = −∞ et lim(x→+∞) ln x = +∞. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Dérivée composée : si u > 0 et dérivable, (ln u)' = u'/u.
Simplifier A = ln(8) − 2ln(2). On a ln(8) = ln(2³) = 3ln(2), donc A = 3ln(2) − 2ln(2) = ln(2).
Dériver f(x) = ln(3x + 1) sur son domaine de définition (x > −1/3) : avec u(x) = 3x+1, u'(x) = 3, donc f'(x) = 3/(3x + 1).
La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ eˣ, est la bijection réciproque de la fonction ln sur ℝ. Elle est définie, continue et dérivable sur ℝ, à valeurs strictement positives : pour tout x ∈ ℝ, eˣ > 0. On a e⁰ = 1 et e¹ = e ≈ 2,71828.
e^(a+b) = eᵃ·eᵇ e^(a−b) = eᵃ/eᵇ (eᵃ)ⁿ = e^(na) e^(−a) = 1/eᵃ
Limites : lim(x→−∞) eˣ = 0 et lim(x→+∞) eˣ = +∞. La fonction exp est strictement croissante sur ℝ. Dérivée composée : (e^u)' = u'·e^u.
Résoudre e^(2x−1) = e³. Par injectivité de exp : 2x − 1 = 3, donc x = 2. S = {2}.
Dériver f(x) = e^(−2x+5) : avec u(x) = −2x+5, u'(x) = −2, donc f'(x) = −2e^(−2x+5).
Pour n ∈ ℕ*, la fonction puissance x ↦ xⁿ est définie sur ℝ. Pour x ≥ 0, la racine n-ième de x, notée ⁿ√x = x^(1/n), est l'unique nombre réel positif dont la puissance n-ième vaut x.
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ sur ℝ ; (√x)' = 1/(2√x) sur ]0 ; +∞[. Si n est pair, x ↦ xⁿ est décroissante sur ]−∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[ ; si n est impair, elle est strictement croissante sur ℝ.
Calculer la racine cubique de 27 : comme 3³ = 27, on a ³√27 = 3.
Dériver f(x) = x⁴ − 3x² + 1 : f'(x) = 4x³ − 6x.
Au voisinage de +∞, l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de x, qui « l'emporte » elle-même sur le logarithme :
Plus généralement, pour tout entier n ≥ 1 : lim(x→+∞) (ln x)/xⁿ = 0 et lim(x→+∞) xⁿ·e⁻ˣ = 0.
Déterminer lim(x→+∞) (x − ln x). On factorise par x (pour x > 0) : x − ln x = x·(1 − (ln x)/x). Or (ln x)/x → 0 quand x → +∞, donc le facteur (1 − (ln x)/x) → 1. Comme x → +∞, par produit : lim(x→+∞) (x − ln x) = +∞.
Simplifier B = ln(12) − ln(3), puis exprimer le résultat sous la forme k·ln(2) avec k entier.
B = ln(12) − ln(3) = ln(12/3) = ln(4) = ln(2²) = 2ln(2).
B = 2ln(2), soit k = 2.
Résoudre dans ℝ l'équation eˣ = 5. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10⁻³ près (on donne ln 5 ≈ 1,609).
eˣ = 5 ⟺ x = ln(5) (en composant par ln, réciproque de exp, valide car 5 > 0).
x = ln(5) ≈ 1,609.
Soit f(x) = x·ln(x) − x, définie sur ]0 ; +∞[. Calculer f'(x) et simplifier au maximum.
On dérive le produit x·ln(x) : (x·ln x)' = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1.
Donc f'(x) = ln(x) + 1 − 1 = f'(x) = ln(x).
Déterminer lim(x→+∞) eˣ/(x² + 1).
On écrit eˣ/(x²+1) = (eˣ/x²)·(x²/(x²+1)). Par croissances comparées, eˣ/x² → +∞ quand x → +∞ (l'exponentielle l'emporte sur x²). Le second facteur x²/(x²+1) → 1.
Par produit de limites : lim(x→+∞) eˣ/(x²+1) = +∞.
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x − ln(x).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le domaine de définition de la fonction ln est :
ln(a) + ln(b), pour a, b > 0, est égal à :
La dérivée de la fonction ln sur ]0 ; +∞[ est :
Pour tout x réel, eˣ est :
La solution de l'équation ln(x) = 2 est :
La solution de l'équation eˣ = 1 est :
Par croissances comparées, lim(x→+∞) x·e⁻ˣ vaut :
La dérivée de x ↦ √x sur ]0 ; +∞[ est :
Le domaine de définition de g(x) = ln(x − 3) est :
ln et exp sont deux fonctions :
