Objectif Général 1 — Analyse. Généralités sur les suites, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, limite d'une suite (convergence, divergence).
Une suite numérique est une fonction u définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. On note un l'image de n, appelée terme d'indice n de la suite (un).
Forme explicite : un = f(n), chaque terme se calcule directement en fonction de n.
Forme récurrente : u0 est donné, et un+1 = f(un), chaque terme se calcule à partir du précédent.
Forme explicite : un = 3n − 2. u0=−2, u1=1, u2=4.
Forme récurrente : u0=1, un+1=2un+1. u1=2×1+1=3, u2=2×3+1=7, u3=2×7+1=15.
(un) est arithmétique de raison r si, pour tout n : un+1 = un + r. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur r.
Terme général : un = u0 + n×r. Somme des n+1 premiers termes : Sn = u0+u1+…+un = (n+1)×(u0+un)/2.
u0=5, r=3 : un = 5+3n. u10 = 5+30 = 35.
S10 = u0+…+u10 (11 termes) = 11×(5+35)/2 = 11×20 = 220.
(un) est géométrique de raison q (q≠0) si, pour tout n : un+1 = q×un. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur q.
Terme général : un = u0×qn. Somme des n+1 premiers termes (q≠1) : Sn = u0×(1−qn+1)/(1−q).
u0=3, q=2 : un=3×2n. u5 = 3×32 = 96.
S5 = u0+…+u5 (6 termes) = 3×(1−2⁶)/(1−2) = 3×(−63)/(−1) = 189 (vérification : 3+6+12+24+48+96=189 ✓).
On étudie le signe de la différence un+1 − un : si elle est positive pour tout n, (un) est croissante ; si elle est négative, (un) est décroissante.
un = n² − 5n. un+1 = (n+1)² − 5(n+1) = n² − 3n − 4.
un+1 − un = (n²−3n−4) − (n²−5n) = 2n − 4.
Cette différence est négative pour n < 2 (suite décroissante), nulle en n=2 (u2=u3=−6), positive pour n > 2 (suite croissante) : la suite n'est pas monotone sur ℕ.
Une suite (un) est convergente vers un réel L si un se rapproche indéfiniment de L quand n devient grand ; elle est divergente si elle n'admet pas de limite finie (limite infinie ou pas de limite du tout).
un = 5×(0,5)n : raison q=0,5, avec −1<0,5<1, donc lim un = 0.
wn = 2×3n : raison q=3>1, donc lim wn = +∞.
Soit (un) arithmétique de premier terme u0=7 et de raison r=−2. Calculer u5 et la somme S5 = u0+u1+…+u5.
un = 7 − 2n, donc u5 = 7 − 10 = −3.
S5 (6 termes, de u0 à u5) = 6×(7+(−3))/2 = 6×4/2 = 12.
Soit (un) géométrique de premier terme u0=4 et de raison q=3. Calculer u4 et la somme S4 = u0+u1+…+u4.
u4 = 4×3⁴ = 4×81 = 324.
S4 = 4×(1−3⁵)/(1−3) = 4×(1−243)/(−2) = 4×(−242)/(−2) = 484 (vérification : 4+12+36+108+324=484 ✓).
Étudier le sens de variation de la suite un = n² − 6n + 5 définie sur ℕ.
un+1 = (n+1)² − 6(n+1) + 5 = n² − 4n.
un+1 − un = (n²−4n) − (n²−6n+5) = 2n − 5.
Pour n ≤ 2, 2n−5 < 0 : suite décroissante. Pour n ≥ 3, 2n−5 > 0 : suite croissante. La suite décroît de n=0 à n=2 puis croît à partir de n=3.
Soit u0=2 et un+1 = 3un − 1.
Soit un = (2/3)n.
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Une suite arithmétique de raison r vérifie :
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est :
Pour une suite arithmétique u0=3, r=4, la valeur de u3 est :
Pour une suite géométrique u0=2, q=5, la valeur de u2 est :
Pour étudier le sens de variation d'une suite, on étudie en général le signe de :
Si q = 1/2, alors limn→+∞ qn est égale à :
Si q = 4, alors limn→+∞ qn est égale à :
La somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique (u0,…,un) vaut :
La somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q≠1 vaut :
Une suite arithmétique de raison r < 0 est :
