Objectif Général 3 — Algèbre linéaire et dénombrement. Principes additif et multiplicatif, factorielle, arrangements, permutations et combinaisons.
Si une situation A offre p possibilités et une situation B, incompatible avec A, offre q possibilités, alors le choix « A ou B » offre p + q possibilités.
Si une expérience se décompose en k étapes successives et indépendantes offrant respectivement n₁, n₂, …, nₖ possibilités, alors le nombre total d'issues est le produit :
Une plaque d'immatriculation comporte 2 lettres (parmi 26) suivies de 3 chiffres (0 à 9), répétitions autorisées.
Nombre de plaques possibles : 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676 000 (principe multiplicatif, 5 étapes successives).
Pour n ∈ ℕ*, la factorielle de n, notée n!, vaut : n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1. Par convention, 0! = 1.
Une permutation de n objets distincts est un rangement ordonné de ces n objets. Le nombre de permutations possibles de n objets est n!.
5! = 5×4×3×2×1 = 120. 0! = 1.
De combien de façons peut-on classer 6 coureurs à l'arrivée d'une course, sans ex æquo ? Réponse : 6! = 720 classements possibles.
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n, éléments distincts, sans répétition, l'ordre compte) se note A(n,p) et vaut :
A(5,2) = 5 × 4 = 20.
Un jury de 8 candidats doit désigner un président, un vice-président et un secrétaire (rôles distincts) : A(8,3) = 8×7×6 = 336 bureaux possibles.
Une combinaison de p éléments parmi n (l'ordre ne compte pas) se note C(n,p) et vaut :
• C(n,0) = 1 et C(n,n) = 1
• Symétrie : C(n,p) = C(n, n−p)
• Formule de Pascal : C(n,p) = C(n−1,p−1) + C(n−1,p)
| Situation | Ordre ? | Répétition ? | Formule |
|---|---|---|---|
| Permutation | Oui | Non | n! |
| Arrangement | Oui | Non | n!/(n−p)! |
| Combinaison | Non | Non | n!/[p!(n−p)!] |
C(5,2) = 5!/(2!×3!) = 10.
On choisit une équipe de 3 personnes (rôles identiques) parmi 10 pièces mécaniques disponibles pour test : C(10,3) = 10×9×8/(3×2×1) = 120.
Une plaque d'immatriculation comporte 2 lettres (parmi 26) suivies de 3 chiffres (0 à 9).
1. Calculer 6! et 6!/4!.
2. De combien de façons peut-on ranger 5 outils distincts, un par un, le long d'un établi ?
1. Un jury de 8 candidats doit désigner un président, un vice-président et un secrétaire (fonctions distinctes). Combien de bureaux différents peut-on former ?
2. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) peut-on former parmi 12 coureurs ?
On dispose de 10 pièces mécaniques dont 4 défectueuses et 6 conformes.
Une commission technique de 5 personnes doit être formée à partir de 7 hommes et 4 femmes (11 personnes au total).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Que vaut 0! ?
5! est égal à :
Le nombre d'arrangements de 2 éléments parmi 5, noté A(5,2), vaut :
Le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 5, noté C(5,2), vaut :
La différence essentielle entre un arrangement et une combinaison est :
Pour tout n et p ≤ n, C(n,p) est égal à :
Pour choisir un président ET un secrétaire (rôles distincts) parmi 6 candidats, on utilise :
Pour choisir une équipe de 3 personnes (rôles identiques) parmi 6 candidats, on utilise :
A(n,p), le nombre d'arrangements de p éléments parmi n, est égal à :
Le principe multiplicatif s'applique lorsque :
