Objectif Général 3 — Algèbre linéaire et dénombrement. Vocabulaire probabiliste, probabilités conditionnelles, indépendance, variables aléatoires discrètes.
• L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
• Un événement est une partie (un sous-ensemble) de Ω.
• Lorsque toutes les issues sont équiprobables, la probabilité d'un événement A est :
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout événement A
• P(Ω) = 1 et P(∅) = 0
On lance un dé équilibré à 6 faces. Ω = {1,2,3,4,5,6}, card(Ω) = 6. Soit A = « obtenir un nombre pair » = {2,4,6}, card(A) = 3.
P(A) = 3/6 = 1/2.
• Union : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Événement contraire Ā (« non A ») : P(Ā) = 1 − P(A)
• Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅) : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. A = « tirer un roi » (4 rois), B = « tirer un cœur » (8 cœurs), A∩B = « le roi de cœur » (1 carte).
P(A) = 4/32 = 1/8, P(B) = 8/32 = 1/4, P(A∩B) = 1/32.
Si P(B) ≠ 0, la probabilité de A sachant B est :
A et B sont indépendants si le fait de savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité de A, c'est-à-dire si :
Une urne contient 10 boules : 6 rouges et 4 vertes. On tire successivement 2 boules sans remise.
P(1ʳᵉ rouge) = 6/10 = 3/5. Sachant la 1ʳᵉ rouge, il reste 5 rouges sur 9 boules : P(2ᵉ rouge | 1ʳᵉ rouge) = 5/9.
P(les deux rouges) = 3/5 × 5/9 = 15/45 = 1/3.
Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue de Ω. Sa loi de probabilité donne P(X = xᵢ) pour chaque valeur xᵢ, avec Σ P(X=xᵢ) = 1.
Espérance : E(X) = Σ xᵢ × pᵢ (valeur moyenne attendue).
Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]², écart-type : σ(X) = √V(X).
Un jeu : on lance un dé équilibré ; si le résultat est pair, on gagne 10 points ; sinon, on perd 5 points. X = gain algébrique.
| xᵢ | −5 | 10 |
|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 1/2 | 1/2 |
E(X) = (−5)×0,5 + 10×0,5 = −2,5 + 5 = 2,5 points en moyenne par partie.
E(X²) = 25×0,5 + 100×0,5 = 12,5 + 50 = 62,5. V(X) = 62,5 − 2,5² = 62,5 − 6,25 = 56,25. σ(X) = √56,25 = 7,5.
Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. On choisit un élève au hasard.
On lance un dé équilibré à 6 faces. Calculer :
Sur 200 pièces produites dans un atelier, 15 ont un défaut de forme (F), 10 ont un défaut de couleur (C), et 5 ont les deux défauts. On prélève une pièce au hasard.
P(F) = 15/200, P(C) = 10/200, P(F∩C) = 5/200.
Une urne contient 10 boules : 6 rouges et 4 vertes. On tire successivement 2 boules sans remise.
Un contrôle qualité teste des pièces produites par une machine. La probabilité qu'une pièce testée soit défectueuse est p = 0,1, indépendamment d'une pièce à l'autre. On teste 2 pièces. Soit X le nombre de pièces défectueuses parmi les 2 testées.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour tout événement A, on a toujours :
P(Ω), la probabilité de l'univers tout entier, vaut :
Pour deux événements A et B, P(A∪B) est égal à :
L'événement contraire de A, noté Ā, vérifie :
La probabilité conditionnelle de A sachant B (avec P(B) ≠ 0) est définie par :
Deux événements A et B sont indépendants si :
On lance un dé équilibré. P(obtenir un nombre pair) vaut :
Pour une variable aléatoire X, l'espérance E(X) est donnée par :
La variance V(X) d'une variable aléatoire X peut se calculer par la formule :
Dans l'exemple du jeu du cours (X=10 avec p=1/2, X=−5 avec p=1/2), E(X) vaut :
