Objectif Général 5 — Statistiques. Nuage de points, point moyen, ajustement affine par la méthode des moindres carrés, covariance, coefficient de corrélation linéaire, interpolation et extrapolation.
Une série statistique double (ou à deux variables) associe à chaque individu i deux valeurs numériques xᵢ et yᵢ, formant n couples (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (xₙ,yₙ). Le nuage de points est la représentation, dans un repère, de l'ensemble des points Mᵢ(xᵢ ; yᵢ).
Le point moyen du nuage est le point G(x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont les moyennes respectives des séries (xᵢ) et (yᵢ) :
On mesure la température x (°C) et la consommation d'énergie y (kWh) d'un atelier sur 5 jours : (10 ; 42), (15 ; 35), (20 ; 30), (25 ; 24), (30 ; 19).
x̄ = (10+15+20+25+30)/5 = 100/5 = 20. ȳ = (42+35+30+24+19)/5 = 150/5 = 30. Point moyen : G(20 ; 30).
Lorsque le nuage de points a une forme allongée, on peut l'ajuster par une droite d'équation y = ax + b, appelée droite de régression de y en x, qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite (méthode des moindres carrés).
Le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b de la droite de régression de y en x sont donnés par :
où V(x) est la variance de la série (xᵢ) et Cov(x,y) la covariance des deux séries (définies au paragraphe suivant). La droite de régression passe toujours par le point moyen G(x̄ ; ȳ).
Sachant a = −1,04 et le point moyen G(20 ; 30) de l'exemple précédent, déterminer b puis l'équation de la droite.
b = ȳ − a·x̄ = 30 − (−1,04)×20 = 30 + 20,8 = 50,8. Équation : y = −1,04x + 50,8.
La covariance de la série double (xᵢ, yᵢ) est :
Le coefficient de corrélation linéaire r mesure la qualité de l'ajustement affine :
où σₓ = √V(x) et σᵧ = √V(y) sont les écarts-types des deux séries.
On a toujours −1 ≤ r ≤ 1. Plus |r| est proche de 1, meilleur est l'ajustement affine (points quasi alignés). Si r > 0, la corrélation est positive (croissante) ; si r < 0, elle est négative (décroissante). En pratique, on considère qu'un ajustement affine est pertinent lorsque |r| ≥ 0,87 environ.
Pour une série donnant r = −0,97, peut-on considérer l'ajustement affine comme pertinent ?
|r| = 0,97, très proche de 1 (et supérieur à 0,87) : l'ajustement affine est excellent, la corrélation étant fortement négative (y décroît quand x augmente).
Une fois la droite de régression y = ax + b établie, on peut estimer une valeur de y pour une valeur de x :
• Interpolation : estimer y pour une valeur de x comprise dans l'intervalle des valeurs observées.
• Extrapolation : estimer y pour une valeur de x en dehors de cet intervalle (moins fiable, la tendance n'étant pas garantie hors du domaine étudié).
Avec l'équation y = −1,04x + 50,8 (valable pour x entre 10 et 30 environ), estimer la consommation pour une température de 18 °C (interpolation), puis pour 5 °C (extrapolation).
Pour x = 18 : y = −1,04×18 + 50,8 = −18,72 + 50,8 = 32,08 kWh (interpolation, x = 18 dans [10;30]).
Pour x = 5 : y = −1,04×5 + 50,8 = −5,2 + 50,8 = 45,6 kWh (extrapolation, x = 5 hors de [10;30] : estimation moins fiable).
On donne la série double : x : 2, 4, 6, 8, 10 et y : 5, 9, 11, 15, 20. Calculer les moyennes x̄ et ȳ, puis donner les coordonnées du point moyen G.
x̄ = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6. ȳ = (5+9+11+15+20)/5 = 60/5 = 12.
Point moyen : G(6 ; 12).
Une droite de régression de y en x a pour coefficient directeur a = 2,5 et passe par le point moyen G(6 ; 12) (données de l'exercice 1). Déterminer b puis l'équation de la droite.
b = ȳ − a·x̄ = 12 − 2,5×6 = 12 − 15 = −3.
Équation de la droite : y = 2,5x − 3.
Pour la série de l'exercice 1 (x : 2,4,6,8,10 et y : 5,9,11,15,20, avec x̄=6 et ȳ=12), on donne Σxᵢyᵢ = 2×5+4×9+6×11+8×15+10×20 = 10+36+66+120+200 = 432. Calculer la covariance Cov(x,y).
Cov(x,y) = (1/n)Σxᵢyᵢ − x̄·ȳ = 432/5 − 6×12 = 86,4 − 72 = 14,4.
Pour la série précédente, on donne Cov(x,y) = 14,4, σₓ = 2,828 et σᵧ = 5,231.
Le tableau suivant donne le temps de production x (en heures) et le nombre de pièces défectueuses y relevés sur une machine, pour 5 séries de fabrication :
| x (heures) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y (défauts) | 3 | 5 | 6 | 8 | 8 |
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le point moyen G d'un nuage de points a pour coordonnées :
Pour la série x : 2, 4, 6, la moyenne x̄ vaut :
La droite de régression y = ax + b, obtenue par la méthode des moindres carrés, passe toujours par :
Le coefficient de corrélation linéaire r vérifie toujours :
Un coefficient de corrélation r = −0,95 indique :
La covariance Cov(x,y) d'une série double se calcule par la formule :
Le coefficient directeur a de la droite de régression de y en x est donné par :
Estimer une valeur de y pour un x situé HORS de l'intervalle des valeurs observées s'appelle :
Si la droite de régression a pour équation y = 2x + 3 et passe par G(4 ; ȳ), alors ȳ vaut :
Un ajustement affine est généralement considéré comme pertinent lorsque :
