Objectif Général 4 — Analyse. Équations y' = ay, y' = ay + b et y'' + ω²y = 0, avec applications physiques (charge, refroidissement, oscillateur).
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, reliant cette fonction à ses dérivées. L'équation y' = ay (a constante réelle) est une équation différentielle linéaire du premier ordre, d'inconnue la fonction y.
Les solutions sur ℝ de l'équation y' = ay sont exactement les fonctions :
Si l'on impose une condition initiale y(x₀) = y₀, il existe une unique solution : y(x) = y₀·eᵃ⁽ˣ⁻ˣ⁰⁾.
Résoudre y' = 3y, puis déterminer la solution telle que y(0) = 5.
Solution générale : y(x) = C·e³ˣ. La condition y(0) = 5 donne C·e⁰ = C = 5.
Solution particulière : y(x) = 5e³ˣ.
On cherche d'abord la solution particulière constante yₚ, telle que yₚ' = 0 : de a·yₚ + b = 0 on tire yₚ = −b/a.
La solution générale de y' = ay + b est alors :
La température T(t) (en °C, t en minutes) d'un objet sortant du four vérifie T'(t) = −0,1(T(t) − 20), soit T' = −0,1T + 2 (a = −0,1 ; b = 2).
Solution particulière constante : Tₚ = −b/a = −2/(−0,1) = 20. Solution générale : T(t) = C·e⁻⁰'¹ᵗ + 20.
Si T(0) = 150 : C + 20 = 150, donc C = 130. D'où T(t) = 130·e⁻⁰'¹ᵗ + 20.
L'équation y'' + ω²y = 0 (avec ω > 0 constant) est l'équation de l'oscillateur harmonique, très utilisée en physique (mouvements vibratoires, circuits LC).
Les solutions sur ℝ de y'' + ω²y = 0 sont exactement les fonctions :
Les deux constantes A et B se déterminent à l'aide de deux conditions initiales, en général y(0) et y'(0).
Résoudre y'' + 4y = 0 avec y(0) = 3 et y'(0) = 0.
ω² = 4 donc ω = 2. Solution générale : y(x) = A cos(2x) + B sin(2x).
y(0) = A = 3. Dérivée : y'(x) = −2A sin(2x) + 2B cos(2x), donc y'(0) = 2B = 0, soit B = 0.
Solution particulière : y(x) = 3 cos(2x).
Pour vérifier qu'une fonction donnée y est solution d'une équation différentielle, on calcule y' (et éventuellement y''), puis on remplace dans l'équation pour vérifier l'égalité, pour tout x.
Vérifier que y(x) = 4e⁻³ˣ est solution de y' + 3y = 0.
y'(x) = 4×(−3)e⁻³ˣ = −12e⁻³ˣ. Alors y'(x) + 3y(x) = −12e⁻³ˣ + 3×4e⁻³ˣ = −12e⁻³ˣ + 12e⁻³ˣ = 0. L'égalité est vérifiée pour tout x : y est bien solution.
Résoudre l'équation différentielle y' = 5y, puis déterminer la solution particulière vérifiant y(0) = 2.
Solution générale : y(x) = C·e⁵ˣ. Condition y(0) = 2 : C·e⁰ = C = 2.
Solution particulière : y(x) = 2e⁵ˣ.
Soit y(x) = 4e⁻³ˣ. Calculer y'(x), puis vérifier que y' = −3y pour tout x ∈ ℝ.
y'(x) = 4×(−3)e⁻³ˣ = −12e⁻³ˣ.
−3y(x) = −3×4e⁻³ˣ = −12e⁻³ˣ. On a bien y'(x) = −3y(x) pour tout x : l'équation est vérifiée.
Résoudre l'équation différentielle y' = 2y + 4, puis déterminer la solution particulière vérifiant y(0) = −1.
a = 2, b = 4. Solution particulière constante : yₚ = −b/a = −4/2 = −2.
Solution générale : y(x) = C·e²ˣ − 2.
Condition y(0) = −1 : C − 2 = −1, donc C = 1.
Solution particulière : y(x) = e²ˣ − 2.
Résoudre l'équation différentielle y'' + 9y = 0, sachant que y(0) = 2 et y'(0) = 6.
ω² = 9, donc ω = 3. Solution générale : y(x) = A cos(3x) + B sin(3x).
y(0) = A = 2.
y'(x) = −3A sin(3x) + 3B cos(3x), donc y'(0) = 3B = 6, soit B = 2.
Solution particulière : y(x) = 2cos(3x) + 2sin(3x).
Un objet sort d'un four à 150°C et est placé dans une pièce dont la température ambiante est de 20°C. La température T(t) de l'objet (en °C, t en minutes) vérifie l'équation différentielle T'(t) = −0,1(T(t) − 20).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution générale de l'équation y' = ay (a constante) est :
La solution de y' = 4y vérifiant y(0) = 3 est :
Pour l'équation y' = ay + b (a ≠ 0), la solution particulière constante yₚ vaut :
La solution générale de y' = ay + b (a ≠ 0) s'écrit :
L'équation y'' + ω²y = 0 a pour solution générale :
Si y(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx) vérifie y(0) = 0, alors :
Une équation de refroidissement T' = −k(T − Tₑₓₜ) (k>0) admet pour limite quand t → +∞ :
Soit y(x) = 2e⁻ˣ. Sa dérivée y'(x) vaut :
Pour déterminer complètement les constantes A et B d'une solution de y'' + ω²y = 0, il faut :
Dans l'équation T' = −0,1(T − 20), écrite sous la forme T' = aT + b, la constante a vaut :
