Ch. 11 Mathématiques · Terminale Commerciale (TG1/TH1)

Système de numération

Objectif Général 5 — Arithmétique. Bases de numération, conversions entre bases, applications pratiques.

1. Numération décimale et principe de position

Définition

Un système de numération est une manière de représenter les nombres à l'aide d'un ensemble fini de chiffres. Dans un système de numération positionnel, la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans l'écriture du nombre : chaque position correspond à une puissance de la base du système.

Décomposition polynomiale en base 10

Le système usuel, en base 10 (système décimal), utilise les dix chiffres 0, 1, 2, …, 9. Tout nombre entier peut s'écrire comme une somme de puissances de 10 :

5324 = 5\times10³ + 3\times10² + 2\times10¹ + 4\times10⁰

Exemple

Le nombre 5324 se décompose en 5 milliers, 3 centaines, 2 dizaines et 4 unités, soit 5×1000 + 3×100 + 2×10 + 4×1 = 5324.

2. Systèmes de numération en base b quelconque

Définition générale

Dans un système de numération de base b (b entier, b ≥ 2), on utilise exactement b chiffres, allant de 0 à b − 1. Un nombre s'écrivant (a_k a_{k−1} … a_1 a_0)_b en base b a pour valeur décimale :

a_k×b^k + a_{k−1}×b^(k−1) + … + a_1×b¹ + a_0×b⁰

Bases usuelles

• Base 2 (binaire) : chiffres 0 et 1 — utilisée en informatique.

• Base 5 : chiffres 0 à 4.

• Base 10 (décimale) : chiffres 0 à 9 — système usuel.

• Base 16 (hexadécimale) : 16 chiffres (0 à 9 puis A, B, C, D, E, F pour 10 à 15).

Exemple

(101)₂ n'utilise que les chiffres 0 et 1, car la base est 2. (243)₅ n'utilise que des chiffres de 0 à 4, car la base est 5.

3. Conversion d'une base b vers la base 10

Méthode : décomposition polynomiale

Pour convertir un nombre écrit en base b vers la base 10, on applique la formule de décomposition en puissances de b, puis on calcule la somme.

Exemple résolu — binaire vers décimal

Convertir (10110)₂ en base 10 :

(10110)₂ = 1\times2⁴ + 0\times2³ + 1\times2² + 1\times2¹ + 0\times2⁰ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22

Donc (10110)₂ = 22 en base 10.

Exemple résolu — base 5 vers décimal

Convertir (243)₅ en base 10 : (243)₅ = 2×5² + 4×5¹ + 3×5⁰ = 50 + 20 + 3 = 73.

4. Conversion de la base 10 vers une base b

Méthode : divisions euclidiennes successives

Pour convertir un nombre décimal N vers la base b, on effectue des divisions euclidiennes successives par b, jusqu'à obtenir un quotient nul. Le nombre en base b s'obtient en lisant les restes de bas en haut (du dernier reste obtenu au premier).

Exemple résolu — décimal vers binaire

Convertir 45 en base 2 :

45 \div 2 = 22 reste 1 22 \div 2 = 11 reste 0 11 \div 2 = 5 reste 1 5 \div 2 = 2 reste 1 2 \div 2 = 1 reste 0 1 \div 2 = 0 reste 1

En lisant les restes de bas en haut : 45 = (101101)₂. Vérification : 32+8+4+1 = 45. ✓

🧠 À retenir absolument

Dans un système de numération de base b, on utilise exactement b chiffres, de 0 à b−1
Valeur d'un nombre en base b : (a_k…a_0)_b = a_k×b^k + … + a_0×b⁰
Conversion base b → décimal : décomposition polynomiale en puissances de b, puis somme
Conversion décimal → base b : divisions euclidiennes successives par b, lecture des restes de bas en haut
Bases usuelles : binaire (base 2), base 5, décimale (base 10), hexadécimale (base 16)

Convertir un nombre binaire en décimal

● Facile

Convertir le nombre binaire (10110)₂ en base 10, en détaillant la décomposition polynomiale.

✅ Correction

Décomposition : (10110)₂ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰
Calcul : 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1 = 16 + 4 + 2 = 22

Convertir un nombre décimal en binaire

● Facile

Convertir le nombre décimal 45 en base 2, à l'aide de la méthode des divisions euclidiennes successives par 2.

✅ Correction

45 ÷ 2 = 22 reste 1 ; 22 ÷ 2 = 11 reste 0 ; 11 ÷ 2 = 5 reste 1 ; 5 ÷ 2 = 2 reste 1 ; 2 ÷ 2 = 1 reste 0 ; 1 ÷ 2 = 0 reste 1
En lisant les restes de bas en haut : 45 = (101101)₂. Vérification : 32+0+8+4+0+1 = 45. ✓

Conversions en base 5

● Moyen

1. Convertir (243)₅ en base 10.

2. Convertir le nombre décimal 88 en base 5, par divisions euclidiennes successives.

✅ Correction

(243)₅ = 2×5² + 4×5¹ + 3×5⁰ = 2×25 + 4×5 + 3×1 = 50 + 20 + 3 = 73
88 ÷ 5 = 17 reste 3 ; 17 ÷ 5 = 3 reste 2 ; 3 ÷ 5 = 0 reste 3. En lisant les restes de bas en haut : 88 = (323)₅. Vérification : 3×25 + 2×5 + 3 = 75+10+3 = 88. ✓

Addition de deux nombres binaires

● Moyen

Effectuer l'addition binaire (1011)₂ + (0110)₂, en posant l'opération. Vérifier le résultat en passant par la base 10.

✅ Correction

Addition bit à bit de droite à gauche (avec retenues) : 1+0=1 ; 1+1=0 retenue 1 ; 0+1+1(retenue)=0 retenue 1 ; 1+0+1(retenue)=0 retenue 1 ; on écrit la dernière retenue 1. Résultat : (1011)₂ + (0110)₂ = (10001)₂
Vérification en base 10 : (1011)₂ = 8+2+1 = 11 et (0110)₂ = 4+2 = 6, donc 11+6 = 17. Or (10001)₂ = 16+1 = 17. ✓

Problème de synthèse : retrouver une base inconnue

● Difficile

Un nombre s'écrit (121)_b dans une base b inconnue (b entier, b ≥ 3), et sa valeur en base 10 est 25.

Écrire l'équation vérifiée par b, à l'aide de la décomposition polynomiale de (121)_b.
Résoudre cette équation et déterminer b. Vérifier que les chiffres 1 et 2 utilisés sont bien valides dans cette base.
Convertir alors ce nombre (c'est-à-dire 25 en base 10) dans le système binaire.

✅ Correction

(121)_b = 1×b² + 2×b¹ + 1×b⁰ = b² + 2b + 1. L'équation est donc b² + 2b + 1 = 25.
On remarque que b² + 2b + 1 = (b+1)². L'équation devient (b+1)² = 25, donc b+1 = 5 (on garde la solution positive, b étant un entier ≥ 3), soit b = 4. Les chiffres utilisés (1 et 2) sont bien inférieurs à b = 4 : l'écriture (121)₄ est valide.
On convertit 25 en base 2 par divisions successives : 25÷2=12 reste 1 ; 12÷2=6 reste 0 ; 6÷2=3 reste 0 ; 3÷2=1 reste 1 ; 1÷2=0 reste 1. En lisant les restes de bas en haut : 25 = (11001)₂. Vérification : 16+8+0+0+1 = 25. ✓

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Dans le système décimal (base 10), les chiffres utilisés sont :

Question 2 / 10

Dans le système binaire (base 2), les chiffres utilisés sont :

Question 3 / 10

La décomposition polynomiale de 234 en base 10 est :

Question 4 / 10

(101)₂ en base 10 vaut :

Question 5 / 10

Pour convertir un nombre décimal vers une base b, on utilise la méthode :

Question 6 / 10

Dans un système de numération de base b, les chiffres autorisés sont compris entre :

Question 7 / 10

(12)₅ en base 10 vaut :

Question 8 / 10

Combien de chiffres différents utilise le système hexadécimal (base 16) ?

Question 9 / 10

En binaire, 1 + 1 s'écrit :

Question 10 / 10

Convertir le nombre décimal 8 en binaire donne :