Objectif Général 4 — Dénombrement, probabilités et suites. Suites arithmétiques et géométriques, terme général, somme des premiers termes.
Une suite numérique (u_n) est une liste ordonnée de nombres réels, indexée par les entiers naturels (souvent à partir de n = 1). Le nombre u_n est appelé terme de rang n (ou terme d'indice n).
Une suite peut être définie par une formule explicite u_n = f(n), qui donne directement u_n en fonction de n, ou par une relation de récurrence, qui donne u_{n+1} en fonction de u_n et du terme initial.
La suite définie par u_n = 2n + 1 est donnée par une formule explicite : u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7. La suite définie par u_1 = 3 et u_{n+1} = u_n + 2 est donnée par récurrence et produit les mêmes valeurs.
Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un nombre réel r, appelé raison, tel que pour tout n, u_{n+1} = u_n + r (on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r).
Soit (u_n) arithmétique avec u_1 = 5 et r = 3. Alors u_10 = 5 + 9 × 3 = 32. La somme des 10 premiers termes est S_10 = 10 × (5 + 32) / 2 = 10 × 37 / 2 = 185.
Une suite (u_n) est géométrique s'il existe un nombre réel q (non nul), appelé raison, tel que pour tout n, u_{n+1} = u_n × q (on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q).
Soit (u_n) géométrique avec u_1 = 2 et q = 3. Alors u_6 = 2 × 3^5 = 2 × 243 = 486. La somme des 6 premiers termes est S_6 = 2 × (3^6 − 1) / (3 − 1) = 2 × 728 / 2 = 728.
Si r > 0, la suite est croissante. Si r < 0, elle est décroissante. Si r = 0, elle est constante.
Si q > 1, la suite est croissante. Si 0 < q < 1, elle est décroissante. Si q = 1, elle est constante. Si q < 0, les termes changent de signe alternativement : la suite n'est pas monotone.
Le chiffre d'affaires d'une entreprise est de 5 000 000 FCFA en 2020 et augmente chaque année de 8 % : c'est une suite géométrique de premier terme u_1 = 5 000 000 et de raison q = 1,08 > 1, donc croissante.
Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme u_1 = 7 et de raison r = 4.
Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_1 = 3 et de raison q = 2.
Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme u_1 = 10 et de raison r = −2.
Le chiffre d'affaires d'une entreprise est de 5 000 000 FCFA en 2020. Il augmente chaque année de 8 %.
Soit (u_n) une suite arithmétique telle que u_4 = 17 et u_9 = 42.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une suite arithmétique est une suite dans laquelle :
Une suite géométrique est une suite dans laquelle :
Pour une suite arithmétique de premier terme u_1 et de raison r, le terme général u_n vaut :
Pour une suite géométrique de premier terme u_1 et de raison q, le terme général u_n vaut :
Si u_1 = 4 et r = 5 (suite arithmétique), alors u_3 est égal à :
Si u_1 = 2 et q = 3 (suite géométrique), alors u_4 est égal à :
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique se calcule par la formule :
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 se calcule par :
Une suite arithmétique de raison r négative est :
Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q telle que 0 < q < 1 est :
