Soit f définie sur un domaine Df symétrique par rapport à 0.
• Paire : f(-x)=f(x) pour tout x∈Df. Courbe symétrique par rapport à l'axe Oy.
• Impaire : f(-x)=-f(x) pour tout x∈Df. Courbe symétrique par rapport à l'origine O.
• Ni l'une ni l'autre : sinon.
f(x)=x² : f(-x)=(-x)²=x²=f(x) → paire. Courbe : parabole, symétrique / Oy.
g(x)=x³ : g(-x)=(-x)³=-x³=-g(x) → impaire. Courbe symétrique / O.
h(x)=x²+x : h(-x)=x²-x ≠ h(x) et ≠ -h(x) → ni paire ni impaire.
Si on connaît la courbe de f, on peut tracer :
• x → f(x-a) : translation horizontale de +a vers la droite.
• x → f(x)+b : translation verticale de +b vers le haut.
• x → |f(x)| : on garde f quand f≥0, on renverse (symétrie/Ox) quand f<0.
• x → k·f(x) : dilatation verticale de rapport k.
f(x)=x². g(x)=f(x-2)=(x-2)² : parabole translatée de 2 vers la droite. h(x)=x²+3 : parabole translatée de 3 vers le haut.
• f est croissante sur [a;b] si la courbe monte de gauche à droite.
• f est décroissante sur [a;b] si la courbe descend de gauche à droite.
• Maximum : plus grande valeur atteinte par f.
• Minimum : plus petite valeur atteinte par f.
• Sommet : (α ; β). Axe de symétrie : x=α.
• a>0 : parabole ouverte vers le haut, minimum=β en x=α.
• a<0 : parabole ouverte vers le bas, maximum=β en x=α.
• Intersections avec Ox : racines de f (si Δ≥0).
Étudier la parité de :
f(x)=x². Décrire les transformations et le résultat pour :
f(x)=-x²+4x-1. (1) Mettre sous forme canonique. (2) Sommet et sens de variation. (3) Maximum.
(1) f=-( x²-4x+4)+4-1=-(x-2)²+3. (2) Sommet (2;3). Décroissante sur ]2;+∞[, croissante sur ]-∞;2[. (3) Maximum=3 en x=2.
f(x)=x-2. Tracer g(x)=|f(x)|=|x-2|.
La hauteur h (en m) d'un ballon lancé est h(t)=-5t²+20t+1 (t en secondes).
(1) h=-5(t²-4t)+1=-5(t-2)²+20+1=-5(t-2)²+21. (2) Max=21m en t=2s. (3) h(0)=1m. (4) -5(t-2)²+21>16 → -5(t-2)²>-5 → (t-2)²<1 → -1<t-2<1 → 1<t<3. Sur ]1;3[.
10 questions
f(-x)=f(x) → f est :
x→f(x-3) est une translation :
x→f(x)+2 est une translation :
Parabole f(x)=2(x-1)²+3. Sommet :
f(x)=x⁴-3x². f est :
a<0 pour f(x)=a(x-α)²+β signifie :
|x-2| vaut pour x<2 :
f(x)=x³ est :
g(x)=|f(x)| est toujours :
Parabole f(x)=-3(x-2)²+5. La valeur 5 est :
