Ch. 08 Fonctions polynômes et homographiques — étude complète — 1ère A Mathématiques

1. Étude complète d'un polynôme du 2ème degré

Plan d'étude (trinôme ax²+bx+c)

1. Domaine : ℝ.

2. Parité : si b=0 → paire ; sinon ni l'une ni l'autre.

3. Forme canonique : a(x-α)²+β avec α=-b/(2a).

4. Variations : décroissante sur ]-∞;α], croissante sur [α;+∞[ (si a>0).

5. Racines : si Δ≥0, intersections avec Ox en x₁ et x₂.

6. Tableau de valeurs et graphique.

Exemple complet

f(x)=x²-4x+3. α=2, β=-1. f=(x-2)²-1. Racines : Δ=4, x=1 et x=3.

Décroissante sur ]-∞;2], croissante sur [2;+∞[. Minimum=-1 en x=2.

2. Étude d'une fonction homographique

Plan d'étude de f(x)=(ax+b)/(cx+d)

1. Domaine : ℝ\{-d/c}.

2. Asymptotes : AV x=-d/c, AH y=a/c.

3. Variations : signe de (ad-bc).

4. Valeurs particulières : f(0), zéro de f.

5. Tableau de variations et graphique.

Exemple

f(x)=(x+2)/(x-1). D=ℝ\{1}. AV: x=1, AH: y=1. ad-bc=1-(-2)=-1... Recalc: a=1,b=2,c=1,d=-1. ad-bc=-1-2=-3<0. Décroissante.

f(0)=-2. Zéro: x=-2.

3. Suites arithmétiques et géométriques — calculs avancés

Formules

Arith. : uₙ=u₁+(n-1)r ; Sₙ=n(u₁+uₙ)/2.

Géom. : uₙ=u₁×q^(n-1) ; Sₙ=u₁(1-qⁿ)/(1-q) pour q≠1.

Cas particulier : 1+q+q²+...+q^(n-1)=(1-qⁿ)/(1-q).

Application — Épargne mensuelle

Versement de 10 000 F/mois, taux 0,5%/mois. Après n mois, le capital est une somme géométrique.

🧠 À retenir

Trinôme : forme canonique → sommet → variations → graphique
Homographique : D, AV, AH, signe de (ad-bc) → variations
Géométrique Sₙ=u₁(1-qⁿ)/(1-q) ; si q=1 : Sₙ=n×u₁
Plan d'étude : toujours D→parité→limites→variations→graphique

Étude d'un trinôme

● Facile

f(x)=x²-6x+5. (1) Forme canonique. (2) Sommet, minimum. (3) Racines. (4) f est positive pour quels x ?

Correction

(1) f=(x-3)²-4. (2) Sommet (3;-4), min=-4. (3) Δ=16. x=1 et x=5. (4) f≥0 sur ]-∞;1]∪[5;+∞[.

Étude d'une homographique

● Moyen

g(x)=(2x-4)/(x+1). (1) Domaine, AV, AH. (2) Signe de (ad-bc). (3) f(0) et zéro de g. (4) g(x)>0 ?

Correction

(1) D=ℝ\{-1}. AV: x=-1. AH: y=2. (2) a=2,b=-4,c=1,d=1. ad-bc=2-(-4)=6>0. Croissante. (3) g(0)=-4. Zéro: 2x-4=0 → x=2. (4) Tableau de signes: g>0 sur ]-∞;-1[∪]2;+∞[.

Suites — calculs avancés

● Moyen

Arith. u₁=100, r=-5. Calculer u₁₀ et S₁₀.
Géom. u₁=1, q=1/2. Calculer S₅ et S∞ (lim quand n→∞).

Correction

u₁₀=100+9×(-5)=55. S₁₀=10×(100+55)/2=775.
S₅=1×(1-(1/2)⁵)/(1/2)=2×(1-1/32)=2×31/32=31/16. |q|<1 → S∞=u₁/(1-q)=1/(1/2)=2.

Comparaison de deux fonctions

● Moyen

f(x)=x²-2x-3 et g(x)=x+1. (1) Valeurs de x pour lesquelles f(x)=g(x). (2) Pour quels x f(x)<g(x) ?

Correction

(1) x²-2x-3=x+1 → x²-3x-4=0. Δ=25. x=-1 et x=4. (2) f-g=x²-3x-4=(x+1)(x-4)<0. Solution : ]-1;4[.

Problème — Épargne

● Difficile

Diallo verse 50 000 F chaque mois sur un compte à taux mensuel de 1%. Le montant au bout de n mois est Sₙ=50000×(1-1,01ⁿ)/(1-1,01)=5000000×(1,01ⁿ-1).

Calculer S₁₂ (1,01¹²≈1,1268).
Calculer S₂₄ (1,01²⁴≈1,2697).
Interpréter la différence entre S₂₄ et 2×S₁₂.

Correction

S₁₂=5000000×0,1268=634 000 F.
S₂₄=5000000×0,2697=1 348 500 F.
2×S₁₂=1 268 000 F<S₂₄. La différence (80 500 F) correspond aux intérêts générés par les premiers versements pendant la 2ème année.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

Forme canonique de x²-4x+1 :

Q2/10

Parabole f(x)=2(x-1)²-3. Minimum :

Q3/10

Homogr. f(x)=(x+2)/(x-1). Zéro de f :

Q4/10

ad-bc>0 pour f=(ax+b)/(cx+d) → f est :

Q5/10

Géom. u₁=3, q=2. S₃= :

Q6/10

Racines de f(x)=x²-4x+3 :

Q7/10

Homogr. f=(2x+1)/(x-3). AH :

Q8/10

f(x)=x²-4. f est positive pour :

Q9/10

Géom. q=1/2. Quand n→∞ : Sₙ→ :

Q10/10

Homogr. f=(3x-6)/(x+1). f(0)= :