Ch. 09 Statistiques — vocabulaire et caractéristiques — 1ère A Mathématiques

1. Vocabulaire statistique de base

Définitions

• Population : ensemble d'individus étudiés.

• Caractère : propriété observée (ex : taille, note).

• Modalité : valeur possible du caractère.

• Effectif nᵢ : nombre d'individus ayant la modalité i.

• Fréquence fᵢ = nᵢ/N : proportion de la modalité i (N = effectif total).

Exemple — Notes de classe

NoteEffectif nᵢFréquence fᵢ 855/40=0,125 101212/40=0,30 121414/40=0,35 1499/40=0,225

N=40. Σfᵢ=1 (vérification).

2. Caractéristiques de position

Mode, Médiane, Moyenne

• Mode : valeur la plus fréquente (effectif le plus grand).

• Médiane Me : valeur qui sépare la série en deux moitiés égales (50% en dessous, 50% au-dessus).

• Moyenne x̄ : x̄ = Σ(nᵢ × xᵢ)/N = Σ(fᵢ × xᵢ).

Calcul sur les notes ci-dessus

Mode = 12 (effectif le plus grand : 14). Moyenne = (5×8+12×10+14×12+9×14)/40 = (40+120+168+126)/40 = 454/40 = 11,35.

3. Caractéristiques de dispersion

Écart moyen, Variance, Écart type

• Étendue : max - min (simple mais sensible aux extrêmes).

• Variance V : V = Σnᵢ(xᵢ-x̄)²/N = Σnᵢxᵢ²/N - x̄² (formule de König).

• Écart type σ = √V : mesure la dispersion dans la même unité que les données.

• σ petit → données concentrées autour de la moyenne. σ grand → données dispersées.

🧠 À retenir

Σnᵢ=N (total) ; Σfᵢ=1
Mode : valeur la plus fréquente
Médiane : 50% de chaque côté
Moyenne x̄ = Σ(nᵢxᵢ)/N
Variance V = Σnᵢxᵢ²/N - x̄² (König-Huygens) ; σ=√V

Tableau statistique

● Facile

Tailles (cm) de 30 élèves :

Taille155160165170175Effectif481053

Calculer les fréquences (en %).
Mode et médiane.

Correction

13,3% ; 26,7% ; 33,3% ; 16,7% ; 10%. Somme=100% ✅.
Mode=165 (effectif 10). Médiane : 15ème valeur. ECC : 4,12,22... La 15ème est dans le groupe 165. Me=165.

Calcul de la moyenne

● Moyen

Notes de 40 élèves :

Note810121416Effectif5101285

Calculer la moyenne.

Correction

x̄=(5×8+10×10+12×12+8×14+5×16)/40=(40+100+144+112+80)/40=476/40=11,9.

Variance et écart type

● Moyen

Petite série : 4, 6, 8, 10, 12 (N=5). (1) Calculer la moyenne. (2) Variance par König. (3) Écart type.

Correction

(1) x̄=(4+6+8+10+12)/5=40/5=8. (2) Σxᵢ²=(16+36+64+100+144)/5=360/5=72. V=72-64=8. (3) σ=√8=2√2≈2,83.

Comparaison de deux séries

● Moyen

Deux équipes de 5 joueurs. Scores A : 10,10,10,10,10. Scores B : 5,8,10,12,15.

Moyenne de chaque équipe.
Écart type de chaque équipe.
Quelle équipe est la plus homogène ?

Correction

x̄A=10. x̄B=(5+8+10+12+15)/5=50/5=10.
σA=0 (tous égaux). Σxᵢ²B=(25+64+100+144+225)/5=111,6. VB=111,6-100=11,6. σB≈3,4.
σA=0<σB : équipe A est la plus homogène.

Problème — Interprétation

● Difficile

Résultats d'un test (sur 20) pour deux classes de 40 élèves. Classe A : x̄=12, σ=3. Classe B : x̄=12, σ=1,5.

Quelle classe a le meilleur niveau moyen ?
Quelle classe est la plus homogène ?
Dans quelle classe serait-il plus facile d'enseigner ? Justifier.

Correction

Même moyenne=12. Niveau moyen identique.
σB=1,5<σA=3. Classe B plus homogène.
Classe B : les élèves ont des niveaux plus proches, donc le cours peut être mieux ciblé. Classe A : grande disparité (certains ont peut-être 5, d'autres 18).

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

Mode d'une série = :

Q2/10

x̄ = :

Q3/10

Σfᵢ pour une série statistique :

Q4/10

σ grand signifie :

Q5/10

V = Σnᵢxᵢ²/N - x̄². C'est la formule :

Q6/10

Série : 2,4,6,8,10. Médiane =

Q7/10

Étendue = :

Q8/10

σ = :

Q9/10

N=50, nᵢ=15. fᵢ = :

Q10/10

Deux séries ont x̄=10. La plus homogène est celle avec :