Ch. 13 Applications ponctuelles du plan et de l espace — 1ère D Mathématiques

1. Isometries du plan — Classification

Definition

Isometrie : d(f(A),f(B))=d(A,B). Conserve distances, angles, parallelismes, aires.

Types dans le plan : translation T(t), rotation R(O,theta), symetrie axiale S(D), symetrie centrale S(O)=R(O,pi), glissement.

2. Composees d isometries

Regles fondamentales

T(u)∘T(v) = T(u+v).

R(O,a)∘R(O,b) = R(O,a+b). En particulier R(O,theta)∘R(O,-theta)=identite.

S(O')∘S(O) = T(2.OO') : composee de deux symetries centrales = translation de vecteur 2.OO'.

Deux symetries axiales d axes paralleles (distance d) = translation perpendiculaire de norme 2d.

Deux symetries axiales d axes secants en I (angle alpha) = rotation de centre I, angle 2alpha.

3. Homothetie

Definition et coordonnees

H(O,k) : OM'=k.OM. En coords (centre O): (x;y)→(kx;ky). Dans R³: (x;y;z)→(kx;ky;kz).

k=1: identite. k=-1: symetrie centrale. |k|>1: agrandissement. 0<|k|<1: reduction.

H(A,k) avec centre A: A est le seul point fixe. AM'=k.AM.

4. Reciproques et expressions analytiques

Reciproques

T(t)^(-1)=T(-t). R(O,theta)^(-1)=R(O,-theta). Symetries : involutives (auto-reciproques).

Expressions en coordonnees

R(O,pi/2): (x;y)→(-y;x). R(O,pi): (x;y)→(-x;-y).

Symetrie/Ox: (x;y)→(x;-y). Symetrie/Oy: (x;y)→(-x;y). Symetrie/y=x: (x;y)→(y;x).

A retenir

Isometrie : conserve distances et angles
2 sym. centrales (O,O') = translation 2.OO'
2 sym. axiales secantes (I, alpha) = rotation(I, 2alpha)
2 sym. axiales paralleles (d) = translation norme 2d
H(O,k): (x;y;z)→(kx;ky;kz) ; k=-1 = symetrie centrale

Images par les isometries

● Facile

A(2;3), B(-1;5). (1) Images par T(3;-2). (2) Image de A par R(O,pi/2). (3) Image de B par S(I) avec I(1;1).

Correction

(1) A'=(5;1), B'=(2;3). (2) R(O,pi/2): (x;y)→(-y;x). A'=(-3;2). (3) B'=(2×1-(-1);2×1-5)=(3;-3).

Composee de deux symetries centrales

● Moyen

S1: sym. centre O(0;0). S2: sym. centre O'(3;1). (1) Montrer S2∘S1 est une translation et donner son vecteur. (2) Image de A(1;2). (3) Verifier directement.

Correction

(1) Propriete: S2∘S1=T(2.OO')=T(6;2). (2) A'=(7;4). (3) S1(A)=(-1;-2). S2((-1;-2))=(6-(-1);2-(-2))=(7;4) ✅.

Composee de symetries axiales

● Moyen

D1=(Ox), D2: y=1 (paralleles, dist=1). (1) Type et vecteur de S2∘S1. (2) D3=(Oy), secante a D1 en O, angle=pi/2. Type de S3∘S1.

Correction

(1) Axes paralleles, d=1: translation perpendiculaire de norme 2. Vecteur (0;2). (2) Axes secants en O, angle=pi/2: rotation de centre O, angle 2×pi/2=pi. C est la symetrie centrale de centre O.

Homothetie

● Moyen

H(O,3): images de A(2;1) et B(-1;3).
H(A,-2) avec A(1;0): image de M(3;2).
Dans l espace, H(O,2): image de P(1;-1;3).

Correction

A'=(6;3), B'=(-3;9).
AM=(2;2). AM'=-2.AM=(-4;-4). M'=A+AM'=(-3;-4).
P'=(2;-2;6).

Probleme — composition globale

● Difficile

ABC avec A(0;0), B(4;0), C(2;3). (1) R(A,pi/2): images B' et C'. (2) T(-1;2): images B'' et C''. (3) Verifier ||B''C''||=||BC||.

Correction

(1) R(A,pi/2): (x;y)→(-y;x) (centre A=origine). B'=(0;4), C'=(-3;2). (2) T(-1;2): B''=(-1;6), C''=(-4;4). (3) BC→=(-2;3), ||BC||=racine(13). B''C''→=(-3;-2), ||B''C''||=racine(13) ✅.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

Une isometrie conserve :

Q2/10

T(u)∘T(v) est egal a :

Q3/10

Symetrie centrale de centre O = rotation d angle :

Q4/10

S(O')∘S(O), centres O et O' distincts :

Q5/10

2 sym. axiales d axes secants en I, angle alpha :

Q6/10

H(O,-1) est :

Q7/10

Reciproque de R(O,theta) :

Q8/10

H(O,3): image de A(2;-1) :

Q9/10

R(O,pi/2): image de (a;b) :

Q10/10

2 sym. axiales d axes paralleles (dist d) :