Ch. 14 Similitudes et configurations de l espace — 1ère D Mathématiques

1. Similitudes du plan

Definition et proprietes

Similitude de rapport k>0 : d(f(A),f(B))=k.d(A,B). Conserve les angles. k=1 : isometrie.

Similitude directe = H(Omega,k)∘R(Omega,theta) de meme centre Omega (rapport k, angle theta).

Les aires sont dans le rapport k². Les perimetres dans le rapport k.

2. Triangles semblables

Criteres

Deux triangles ABC et A'B'C' semblables si :

AAA : memes 3 angles. CCC : cotes proportionnels. CAC : 2 cotes propor. et angle compris egal.

Applications

Dans un triangle rectangle en B, la hauteur BH partage le triangle en 2 triangles semblables a ABC.

BH²=AH.HC (theoreme de la hauteur). AB²=AH.AC ; BC²=HC.AC (theoreme de la cathete).

3. Polyedres — Formule d Euler

Formule d Euler et exemples

S − A + F = 2 pour tout polyedre convexe.

Tetraedre: 4-6+4=2 ✅. Cube: 8-12+6=2 ✅. Octaedre: 6-12+8=2 ✅. Icosaedre: 12-30+20=2 ✅.

4. Positions relatives dans l espace

Droites dans l espace

Secantes : coplanaires, un point commun. Paralleles : coplanaires, meme direction. Gauches : non coplanaires.

Theoremes de parallelisme

Si une droite est parallele a une droite d un plan, elle est || au plan ou incluse dedans.

Deux plans || coupes par un troisieme : droites d intersection paralleles.

Sections planes

Section d un cube : triangle (3 aretes adjacentes), rectangle, pentagone, hexagone.

Section d un cylindre : cercle (plan perp), ellipse (plan oblique), rectangle (plan contenant l axe).

A retenir

Similitude k : dist×k, angles conserves, aires×k²
AAA, CCC, CAC : criteres de similitude des triangles
Euler : S-A+F=2
Droites gauches : non paralleles, non secantes, non coplanaires
BH²=AH.HC dans un triangle rectangle en B, H pied de la hauteur

Triangles semblables

● Facile

ABC et A'B'C': A=60°, B=70° et A'=60°, C'=50°. Semblables ?
Cotes 4,6,9 et 8,12,18. Semblables ? Rapport ?
Triangle rectangle en B, BH hauteur. Enoncer les similitudes.

Correction

C=50°, B'=70°. Memes angles. Semblables (AAA).
8/4=12/6=18/9=2. CCC, rapport k=2.
ABH semblable a CBH semblable a ABC (par AA: angle droit + angle commun).

Formule d Euler

● Moyen

Cube (S=8, A=12, F=6): verifier Euler.
Tetraedre: S=4, A=6, F=4. Verifier.
Polyedre: 20 faces, 12 sommets. Nb d aretes ?

Correction

8-12+6=2 ✅.
4-6+4=2 ✅.
12-A+20=2. A=30.

Positions relatives

● Moyen

Cube ABCDEFGH (ABCD bas, EFGH haut, AE BF CG DH lat.). (1) (AB) et (EF): paralleles, secantes ou gauches ? (2) (AG) et (BH): ? (3) (AG) perp a ABCD ?

Correction

(1) Meme direction (AE||BF donc AB||EF). Paralleles. (2) Coordonnees cube cote 1: A(0;0;0),G(1;1;1),B(1;0;0),H(1;1;1). Attention: H=(0;1;1). BH=(−1;1;1), AG=(1;1;1). Non colineaires. BH et AG ne se coupent pas. Gauches. (3) AG=(1;1;1), normal ABCD=(0;0;1). AG.n=1≠0. Non perpendiculaire.

Similitude — calcul

● Moyen

Similitude directe de centre O, rapport 2, angle pi/4. Image de A(1;0). (R(O,pi/4): (x;y)→(x cos(pi/4)-y sin(pi/4) ; x sin(pi/4)+y cos(pi/4)).)

Correction

H(O,2): A→(2;0). R(O,pi/4): (2×racine(2)/2-0 ; 2×racine(2)/2+0)=(racine(2);racine(2)). Image: (racine(2);racine(2)).

Theoreme de la hauteur

● Difficile

Triangle rectangle en A, AB=6, AC=8, BC=10. H est le pied de la hauteur issue de A. (1) Calculer AH par BH²=BX... utiliser Aire=AH×BC/2=AB×AC/2. (2) Calculer BH et HC. (3) Verifier AH²=BH×HC.

Correction

(1) Aire=6×8/2=24. Aussi Aire=AH×10/2. AH=48/10=24/5=4,8. (2) AB²=BH×BC: 36=10BH, BH=3,6. AC²=HC×BC: 64=10HC, HC=6,4. (3) AH²=(24/5)²=576/25. BH×HC=3,6×6,4=23,04=576/25 ✅.

QCM

10 questions

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Q1/10

Similitude rapport k : les aires sont dans le rapport :

Q2/10

Triangles semblables si :

Q3/10

Formule d Euler :

Q4/10

Tetraedre regulier: nb de faces :

Q5/10

Droites gauches dans l espace :

Q6/10

Similitude directe = :

Q7/10

Cotes 3,4,5 et 6,8,10. Rapport k :

Q8/10

Prisme triangulaire: nb d aretes :

Q9/10

Section d un cylindre par plan perp a l axe :

Q10/10

BH²=AH×HC vient du :