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1. Principes de denombrement

Regles fondamentales

Regle du produit : k etapes, n1×n2×...×nk possibilites au total.

Regle de la somme : A et B disjoints => |A∪B|=|A|+|B|.

Factorielle : n!=n×(n-1)×...×2×1. 0!=1.

2. Arrangements et combinaisons

Arrangements (ordre compte)

Apn = n!/(n-p)! = n(n-1)...(n-p+1) : p elements parmi n, ordre important.

Permutations : Pn=n! (ordonner n elements).

Combinaisons (ordre ne compte pas)

Cnp = n!/(p!.(n-p)!) = Apn/p!.

Proprietes : Cn0=Cnn=1 ; Cn1=n ; Cnp=Cn(n-p) (symetrie).

Pascal : Cnp+Cn(p+1)=C(n+1)(p+1).

Somme d une ligne n : somme(Cnp) pour p=0 a n = 2^n.

3. Probabilites

Definition classique

P(A)=|A|/|Omega| (issues equiprobables). P(Omega)=1, P(vide)=0, P(A-barre)=1-P(A).

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). Si A et B incompatibles : P(A∪B)=P(A)+P(B).

Probabilite conditionnelle

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) (P(B)>0).

A et B independants ssi P(A∩B)=P(A).P(B), equivalemment P(A|B)=P(A).

Formule des probabilites totales

Si B1,...,Bn partition de Omega : P(A)=somme P(A|Bi).P(Bi).

A retenir

  • Arrangements : Apn=n!/(n-p)! (ordre compte)
  • Combinaisons : Cnp=n!/(p!(n-p)!) (ordre ne compte pas)
  • Pascal : Cnp+Cn(p+1)=C(n+1)(p+1) ; somme ligne = 2^n
  • P(A-barre)=1-P(A) ; P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
  • Independance : P(A∩B)=P(A).P(B)
1

Factorielles et combinaisons

● Facile
  1. Calculer 6!, C(6,2), C(8,3), A(5,2).
  2. Combien de facons d ordonner les lettres de MATHS ?
  3. Comites de 4 parmi 10 ?
Correction
  1. 720 ; 15 ; 56 ; 20.
  2. 5!=120.
  3. C(10,4)=210.
2

Triangle de Pascal

● Moyen
  1. Verifier C(5,3)=C(5,2) (symetrie).
  2. Verifier C(4,2)+C(4,3)=C(5,3) (Pascal).
  3. Calculer somme des C(10,p) pour p de 0 a 10.
Correction
  1. C(5,3)=10=C(5,2) ✅.
  2. 6+4=10=C(5,3) ✅.
  3. 2^10=1024.
3

Calcul de probabilites

● Moyen

Jeu de 32 cartes (8 valeurs × 4 couleurs). On tire 2 cartes. (1) Nb de tirages possibles. (2) Nb contenant 2 as (4 as dans le jeu). (3) Probabilite d obtenir 2 as.

Correction

(1) C(32,2)=496. (2) C(4,2)=6. (3) P=6/496=3/248≈1,2%.

4

Probabilite conditionnelle et independance

● Moyen

P(Sport)=0,6, P(Musique)=0,4, P(S∩M)=0,25. (1) P(S∪M). (2) P(S|M). (3) S et M independants ?

Correction

(1) 0,6+0,4-0,25=0,75. (2) 0,25/0,4=0,625. (3) P(S).P(M)=0,24≠0,25. Non independants.

5

Loterie

● Difficile

Choisir 6 numeros parmi 1 a 49. (1) C(49,6). (2) Probabilite du jackpot. (3) Probabilite d avoir exactement 3 bons numeros.

Correction

(1) 49!/(6!43!)=13983816. (2) 1/13983816≈7,15×10⁻⁸. (3) C(6,3)×C(43,3)=20×12341=246820. P=246820/13983816≈1,765%.

QCM

10 questions

0Score
0/10Repondues
Q1/10

5! est egal a :

Q2/10

C(6,3) est egal a :

Q3/10

Difference arrangement/combinaison :

Q4/10

A(5,2) vaut :

Q5/10

Pascal : Cnp+Cn(p+1)= :

Q6/10

P(A-barre) :

Q7/10

A et B independants :

Q8/10

P(A|B) vaut :

Q9/10

C(8,3) vaut :

Q10/10

Somme des C(n,p) de p=0 a n :