n couples (xi;yi). Nuage de points represente les paires dans un repere.
Point moyen G=(x-barre;y-barre) avec x-barre=somme(xi)/n, y-barre=somme(yi)/n.
La droite de regression passe toujours par G.
Covariance : cov(X,Y)=somme(xi.yi)/n - x-barre.y-barre.
Variance : V(X)=somme(xi²)/n - x-barre².
Droite y=ax+b avec a=cov(X,Y)/V(X) et b=y-barre-a.x-barre.
r=cov(X,Y)/(sigmaX.sigmaY) avec sigmaX=racine(V(X)), sigmaY=racine(V(Y)).
r∈[-1;1]. |r| proche de 1 : correlation lineaire forte. |r| proche de 0 : pas de correlation.
r=1 : alignes sur droite croissante. r=-1 : alignes sur droite decroissante.
1. Trier par x croissant. 2. Diviser en 2 groupes egaux G1 (premiers) et G2 (derniers).
3. Calculer les points moyens G1=(x-barre1;y-barre1) et G2=(x-barre2;y-barre2).
4. Droite de Mayer = droite G1G2. Pente a=(y-barre2-y-barre1)/(x-barre2-x-barre1).
6 couples (x;y) : (1;2),(2;4),(3;3),(4;6),(5;5),(6;8). (1) Calculer x-barre, y-barre et G. (2) Calculer somme(xi²) et somme(xi.yi).
(1) x-barre=3,5. y-barre=28/6≈4,67. G=(3,5;4,67). (2) somme(xi²)=91. somme(xi.yi)=2+8+9+24+25+48=116.
En reprenant les donnees ci-dessus. (1) V(X) et cov(X,Y). (2) Coefficients a et b. (3) Estimation pour x=7.
(1) V(X)=91/6-12,25=2,917. cov=116/6-3,5×4,67≈3. (2) a≈1,03. b≈1,07. Droite : y≈1,03x+1,07. (3) y(7)≈8,28.
(1) Calculer V(Y) pour les donnees. (2) Calculer r. (3) Interpreter.
(1) somme(yi²)=4+16+9+36+25+64=154. V(Y)=154/6-(4,67)²≈3,89. sigmaY≈1,97. (2) r=cov/(sigmaX.sigmaY)=3/(1,708×1,97)≈0,891. (3) r≈0,89 proche de 1 : correlation lineaire positive forte.
(1) G1 (3 premiers) et G2 (3 derniers). (2) Points moyens. (3) Droite de Mayer.
(1) G1 : (2;8),(4;14),(5;16). G2 : (7;20),(8;25),(10;30). (2) G1=(11/3;38/3), G2=(25/3;25). (3) a=(25-38/3)/(25/3-11/3)=(37/3)/(14/3)=37/14≈2,64. b≈2,98. y≈2,64x+2,98.
8 jours : temperature x (°C) et ventes de pain y (centaines) :
x: 15,18,20,22,25,28,30,32. y: 50,48,45,42,40,38,35,32. (1) x-barre, y-barre. (2) La correlation est-elle positive ou negative ? (3) Calculer a et b.
(1) x-barre=23,75, y-barre=41,25. (2) Negative (plus il fait chaud, moins on achete de pain). (3) cov=somme(xi.yi)/8-x-barre.y-barre=7576/8-979,7≈-32,7. V(X)=4766/8-564,1=31,7. a≈-1,03. b≈65,7.
10 questions
Point moyen G :
cov>0 => :
r ∈ :
r=0,95 signifie :
La droite de regression passe par :
a de la droite de regression :
Methode de Mayer :
r=-1 => nuage :
b de la droite y=ax+b :
Extrapoler avec la droite d ajustement :
