Objectif Général 1 — Algèbre. Méthodes de résolution : substitution, combinaison linéaire, pivot de Gauss, interprétation graphique.
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y s'écrit sous la forme :
Résoudre le système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on la remplace dans l'autre équation.
Résoudre { 2x + y = 7 ; x − y = 2 }. De la 2ᵉ équation : x = y + 2. On substitue dans la 1ʳᵉ :
Solution : (x ; y) = (3 ; 1). Vérification : 2(3)+1=7 ✓ et 3−1=2 ✓.
On multiplie une ou les deux équations par des nombres bien choisis afin que les coefficients d'une même inconnue soient opposés, puis on additionne les deux équations pour l'éliminer.
Résoudre { 3x + 2y = 12 ; x − 2y = −4 }. Les coefficients de y sont déjà opposés : on additionne membre à membre.
Solution : (x ; y) = (2 ; 3). Vérification : 3(2)+2(3)=12 ✓ et 2−2(3)=−4 ✓.
Chaque équation ax+by=c représente une droite. La nature des solutions dépend de la position relative des deux droites, donnée par le nombre D = ab' − a'b :
• D ≠ 0 : droites sécantes → solution unique.
• D = 0 et équations proportionnelles (même droite) → droites confondues → infinité de solutions.
• D = 0 et équations non proportionnelles → droites parallèles distinctes → aucune solution.
{ 2x+3y=6 ; 4x+6y=12 } : la 2ᵉ équation est exactement le double de la 1ʳᵉ → droites confondues → infinité de solutions.
{ x−2y=1 ; 2x−4y=5 } : 2×(x−2y) = 2x−4y = 2, mais le second membre vaut 5 ≠ 2 → droites parallèles → aucune solution.
{ x+y=4 ; x−y=2 } : D = 1×(−1) − 1×1 = −2 ≠ 0 → solution unique, (x;y) = (3 ; 1).
On combine les équations deux à deux pour éliminer progressivement les inconnues, jusqu'à obtenir un système « triangulaire » où la dernière équation ne contient plus qu'une seule inconnue. On résout alors en remontant (substitution en cascade).
Résoudre { x+y+z=6 ; 2x−y+z=3 ; x+2y−z=2 }.
De (2') : z = 9 − 3y. On remplace dans (3') :
Solution : (x ; y ; z) = (1 ; 2 ; 3). Vérification dans (2) : 2(1)−2+3=3 ✓ ; dans (3) : 1+4−3=2 ✓.
On choisit des inconnues pour les quantités recherchées, on traduit chaque contrainte de l'énoncé par une équation, puis on résout le système obtenu.
Un commerçant achète x kg de café à 2 000 F/kg et y kg de thé à 1 500 F/kg. Il achète en tout 50 kg pour une dépense totale de 88 000 F.
De la 1ʳᵉ équation : x = 50 − y. On substitue :
Le commerçant a acheté 26 kg de café et 24 kg de thé. Vérification : 2000(26)+1500(24) = 52000+36000 = 88000 ✓.
Résoudre les systèmes suivants par substitution :
Résoudre par combinaison linéaire : { 3x + 4y = 18 ; 5x − 4y = −2 }
Les coefficients de y sont opposés : on additionne membre à membre.
Solution : (x ; y) = (2 ; 3). Vérification : 5(2)−4(3)=10−12=−2 ✓.
Classer chaque système : solution unique, aucune solution, ou infinité de solutions (résoudre si solution unique).
Résoudre le système { x + y + z = 9 ; x − y + z = 3 ; x + y − z = 1 }.
On combine les équations deux à deux pour éliminer x :
Solution : (x ; y ; z) = (2 ; 3 ; 4). Vérification dans (2) : 2−3+4=3 ✓ ; dans (3) : 2+3−4=1 ✓.
Une coopérative agricole vend des sacs de riz à 12 500 F CFA et des sacs de maïs à 9 000 F CFA. Un jour donné, elle vend 40 sacs au total (riz et maïs confondus) pour une recette totale de 447 500 F CFA.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution du système { x + y = 7 ; x − y = 1 } est :
La solution du système { 2x + y = 8 ; x − y = 1 } est :
Le système { 2x + 3y = 6 ; 4x + 6y = 12 } admet :
Le système { x − 2y = 1 ; 2x − 4y = 5 } admet :
Le système { x + y = 4 ; x − y = 2 } a pour solution :
Un système linéaire { ax+by=c ; a'x+b'y=c' } admet une solution unique lorsque :
L'objectif de la méthode du pivot de Gauss pour un système 3×3 est de :
Pour le système { x+y+z=6 ; 2x−y+z=3 ; x+2y−z=2 }, la valeur de x est :
Graphiquement, deux droites sécantes correspondent à un système ayant :
Graphiquement, deux droites confondues correspondent à un système ayant :
