Objectif Général 1 — Algèbre. Résolution d'équations et d'inéquations comportant des racines carrées, avec vérification systématique des conditions d'existence.
Pour tout x où A(x) est défini et positif ou nul, on a l'équivalence fondamentale :
La condition B(x) ≥ 0 est indispensable : une racine carrée est toujours positive ou nulle, elle ne peut donc jamais être égale à une expression négative. Remarquons que si A(x) = [B(x)]², alors A(x) est automatiquement positif ou nul (c'est un carré) : il suffit donc de vérifier la condition sur B(x) après avoir résolu.
Résoudre √(2x + 3) = x. On élève au carré : 2x + 3 = x², soit x² − 2x − 3 = 0.
Condition B(x) = x ≥ 0 : x = −1 est rejeté (négatif). Il reste x = 3, à vérifier : √(2×3+3) = √9 = 3 = x ✓. Solution : x = 3.
Deux racines carrées sont égales si et seulement si les expressions sous les radicaux sont égales (l'une des deux conditions de positivité suffit, l'autre en découle) :
Résoudre √(3x − 2) = √(x + 4). Domaine : 3x−2≥0 → x≥2/3 ; x+4≥0 → x≥−4 ; donc x≥2/3.
x = 3 ≥ 2/3 : condition vérifiée. Contrôle : √(9−2)=√7 et √(3+4)=√7 ✓. Solution : x = 3.
On distingue deux formes, en tenant toujours compte du domaine de définition (A(x) ≥ 0) :
| Inéquation | Cas B(x) < 0 | Cas B(x) ≥ 0 |
|---|---|---|
| √A(x) ≤ B(x) | Aucune solution (impossible) | A(x) ≤ [B(x)]², avec A(x)≥0 |
| √A(x) ≥ B(x) | Vraie pour tout x du domaine | A(x) ≥ [B(x)]² |
a) Résoudre √(2x+3) ≤ x. Comme le membre de droite doit être ≥0, on impose x≥0. On élève au carré :
En croisant avec x ≥ 0 (et le domaine x≥−3/2) : solution [3 ; +∞[.
b) Résoudre √(x−1) ≥ −2. Domaine : x≥1. Comme le second membre −2 est négatif, l'inégalité est vraie pour tout x du domaine : solution [1 ; +∞[.
Résoudre √(x² − 5x + 6) = x − 1. Condition : B(x) = x−1 ≥ 0 → x ≥ 1. On élève au carré :
x = 5/3 ≥ 1 ✓. Vérification : x²−5x+6 = 25/9−25/3+6 = 4/9, √(4/9) = 2/3, et x−1 = 5/3−1 = 2/3 ✓. Solution : x = 5/3.
Résoudre dans R :
Résoudre dans R :
Résoudre dans R :
Résoudre dans R l'équation √(x² − 5x + 6) = x − 1, puis expliquer pourquoi il n'était pas nécessaire de vérifier séparément que x²−5x+6 ≥ 0.
Condition : x−1≥0 → x≥1. En élevant au carré :
x = 5/3 ≥ 1 ✓. Vérification : x²−5x+6 = 4/9, √(4/9)=2/3, et x−1=2/3 ✓. Solution : x = 5/3.
Puisque l'équation élevée au carré donne A(x) = [B(x)]², le membre de gauche A(x) est automatiquement un carré, donc toujours ≥ 0 : la condition de domaine est automatiquement satisfaite. Seule la condition B(x) ≥ 0 doit être vérifiée à part.
On considère l'expression √(3x + 7).
1. Domaine x≥−7/3. Condition x−1≥0 → x≥1. On élève au carré :
Seul x=6 vérifie x≥1. Contrôle : √25=5=6−1 ✓. Solution de l'équation : x = 6.
2. Pour √(3x+7) ≤ x−1, il faut x−1≥0 → x≥1, puis 3x+7 ≤ (x−1)² → x²−5x−6 ≥ 0 → (x−6)(x+1) ≥ 0 → x≤−1 ou x≥6. Avec x≥1 : solution [6 ; +∞[.
3. Sur le domaine [−7/3 ; +∞[, l'inéquation stricte √(3x+7) > x−1 correspond exactement au complémentaire de « ≤ » (l'égalité étant exclue) : solution [−7/3 ; 6[.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution de √(x − 2) = 3 est :
Pour que √A(x) = B(x) ait une solution, la condition indispensable à vérifier après élévation au carré est :
La solution de √(3x − 2) = √(x + 4) est :
L'ensemble de définition de f(x) = √(2x − 6) est :
L'équation √(x + 1) = −2 admet :
L'ensemble des solutions de √(x + 2) ≤ x est :
Pour résoudre √A(x) ≥ B(x) lorsque B(x) < 0 sur le domaine, la solution est :
La solution de √(x − 3) = √(2x − 9) est :
L'équation √(x² − 4) = x − 2 a pour ensemble de solutions :
Pour résoudre √A(x) = √B(x), on résout :
