Ch. 05 Mathématiques · 1ère Commerciale (PBG)

Outils vectoriels du plan et de l'espace

Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle. Opérations sur les vecteurs, colinéarité dans le plan, coordonnées et coplanarité dans l'espace.

1. Vecteurs du plan — opérations

Définition

À tout couple de points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), on associe le vecteur AB de coordonnées :

AB ( x_B - x_A ; y_B - y_A )

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.

Opérations sur les coordonnées

Pour u(x ; y) et v(x' ; y') et un réel k :

• Somme : u + v (x+x' ; y+y')

• Produit par un réel : k·u (kx ; ky)

• Relation de Chasles : AB + BC = AC

Exemple résolu

A(1;2), B(4;6) : AB = (4−1 ; 6−2) = (3 ; 4). Avec u(2;−1) et v(−3;5) :

u + v = (2-3 ; -1+5) = (-1 ; 4) 3u = (6 ; -3) u - 2v = (2-(-6) ; -1-10) = (8 ; -11)

2. Colinéarité de deux vecteurs du plan

Définition

Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires (ou parallèles) si et seulement si :

x\cdoty' - x'\cdoty = 0

Ceci équivaut à l'existence d'un réel k tel que v = k·u (lorsque u ≠ 0).

Application : alignement de points

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Exemples résolus

u(4;6), v(6;9) : 4×9 − 6×6 = 36−36 = 0 → colinéaires (v = 1,5 u).

u(2;3), v(4;5) : 2×5 − 4×3 = 10−12 = −2 ≠ 0 → non colinéaires.

A(1;1), B(3;5), C(6;11) : AB=(2;4), AC=(5;10). 2×10 − 5×4 = 20−20 = 0 → AB et AC colinéaires → A, B, C alignés.

3. Vecteurs de l'espace — coordonnées

Définition

Dans l'espace, un vecteur possède trois coordonnées u(x ; y ; z). Les opérations se prolongent coordonnée par coordonnée :

u + v (x+x' ; y+y' ; z+z') k\cdotu (kx ; ky ; kz)

Colinéarité dans l'espace

u(x;y;z) et v(x';y';z') non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles (il existe k tel que v = k·u).

Exemples résolus

u(1;−2;3), v(0;4;−1) : u+v = (1 ; 2 ; 2) ; 2u−v = (2;−4;6) − (0;4;−1) = (2 ; −8 ; 7).

u(2;−4;6), v(1;−2;3) : rapports 2/1=2, −4/−2=2, 6/3=2 → tous égaux → colinéaires (u = 2v).

u(1;2;3), v(2;4;5) : rapports 2/1=2, 4/2=2, mais 5/3≠2 → non colinéaires.

4. Coplanarité de trois vecteurs de l'espace

Définition

Trois vecteurs de l'espace u, v, w (avec u et v non colinéaires) sont coplanaires s'il existe des réels a et b tels que :

w = a\cdotu + b\cdotv

On détermine a et b en résolvant le système formé par deux des trois coordonnées, puis on vérifie avec la troisième.

Exemples résolus

u(1;0;2), v(0;1;−1), w(2;3;1). On cherche a, b tels que w = a·u + b·v :

x : 2 = a y : 3 = b Vérification sur z : a\times2 + b\times(-1) = 4 - 3 = 1 = w_z ✓

Donc w = 2u + 3v : les trois vecteurs sont coplanaires.

Avec u(1;0;0), v(0;1;0), w(1;1;1) : a=1 (sur x), b=1 (sur y), mais sur z : a×0+b×0=0 ≠ 1 = w_z. La vérification échoue : les vecteurs ne sont pas coplanaires.

🧠 À retenir absolument

AB(x_B−x_A ; y_B−y_A) ; les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par coordonnée
Dans le plan, u(x;y) et v(x';y') colinéaires ⟺ xy'−x'y = 0
A, B, C alignés ⟺ AB et AC colinéaires
Dans l'espace, colinéarité ⟺ coordonnées proportionnelles
Coplanarité de u, v, w ⟺ il existe a, b réels tels que w = a·u + b·v (à vérifier sur les 3 coordonnées)

Opérations sur les vecteurs du plan

● Facile

Soient u(3;−2) et v(−1;4). Calculer :

u + v
2u − 3v

✅ Correction

u+v = (3+(−1) ; −2+4) = (2 ; 2).
2u = (6;−4), 3v = (−3;12). 2u−3v = (6−(−3) ; −4−12) = (9 ; −16).

Colinéarité dans le plan

● Facile

Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ?

u(6;−9) et v(−4;6)
u(3;5) et v(6;9)

✅ Correction

6×6 − (−4)×(−9) = 36 − 36 = 0 → colinéaires (v = −2/3 u).
3×9 − 6×5 = 27 − 30 = −3 ≠ 0 → non colinéaires.

Alignement de points

● Moyen

Les points A(−2;1), B(1;4), C(4;7) sont-ils alignés ? Justifier par un calcul de colinéarité.

✅ Correction

AB = (1−(−2) ; 4−1) = (3 ; 3). AC = (4−(−2) ; 7−1) = (6 ; 6).

3×6 − 6×3 = 18 − 18 = 0 → AB et AC colinéaires → A, B, C sont alignés.

Vecteurs de l'espace

● Moyen

Soient u(2;−1;3) et v(−6;3;−9).

Montrer que u et v sont colinéaires.
Calculer u + v.
Calculer 3u + v.

✅ Correction

Rapports : −6/2=−3, 3/−1=−3, −9/3=−3 : tous égaux à −3, donc v = −3u → colinéaires.
u+v = (2−6 ; −1+3 ; 3−9) = (−4 ; 2 ; −6).
3u = (6;−3;9). 3u+v = (6−6 ; −3+3 ; 9−9) = (0 ; 0 ; 0) — cohérent puisque v = −3u, donc 3u+v = 3u−3u = vecteur nul.

Coplanarité — problème de synthèse

● Difficile

Soient u(1;2;−1), v(2;−1;1) et w(4;3;−1).

Déterminer, si possible, deux réels a et b tels que w = a·u + b·v.
Conclure sur la coplanarité de u, v, w.

✅ Correction

On pose le système à partir des coordonnées x et y :

x : 4 = a + 2b y : 3 = 2a - b

De la première équation : a = 4 − 2b. On substitue dans la seconde :

2(4-2b) - b = 3 \to 8 - 4b - b = 3 \to 8 - 5b = 3 \to b = 1 a = 4 - 2(1) = 2

Vérification sur z : a×(−1) + b×1 = −2+1 = −1 = w_z ✓.

1. a = 2 et b = 1, donc w = 2u + v.

2. La vérification étant satisfaite sur les trois coordonnées, u, v, w sont coplanaires.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

Avec u(2;3) et v(−1;5), le vecteur u + v a pour coordonnées :

Question 2 / 10

Les vecteurs u(4;−2) et v(−6;3) sont-ils colinéaires ?

Question 3 / 10

A(0;0), B(2;3), C(4;6) sont :

Question 4 / 10

La relation de Chasles pour les vecteurs s'écrit :

Question 5 / 10

Les vecteurs de l'espace u(1;2;3) et v(2;4;6) sont-ils colinéaires ?

Question 6 / 10

Avec u(1;−2;3) et v(0;4;−1), le vecteur u + v a pour coordonnées :

Question 7 / 10

Deux vecteurs de l'espace non nuls u(x;y;z) et v(x';y';z') sont colinéaires si et seulement si :

Question 8 / 10

Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si :

Question 9 / 10

Pour u(1;0;0), v(0;1;0), w(3;5;0), on a w = a·u + b·v avec :

Question 10 / 10

Les vecteurs u(1;0;0), v(0;1;0), w(1;1;1) sont :