Ch. 06 Mathématiques · 1ère Commerciale (PBG)

Calculs barycentriques et ensemble de points

Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan et de l'espace. Barycentre de deux points puis de n points pondérés, propriétés fondamentales et application à la recherche d'ensembles de points.

1. Barycentre de deux points pondérés

Définition

Soient A et B deux points du plan affectés respectivement des coefficients (poids) a et b, réels, tels que a + b ≠ 0. On appelle barycentre du système {(A,a) ; (B,b)} l'unique point G vérifiant :

a \cdot GA⃗ + b \cdot GB⃗ = 0⃗

Expression du barycentre

Pour tout point O du plan (ou de l'espace), on a la relation :

OG⃗ = (a \cdot OA⃗ + b \cdot OB⃗) / (a + b)

En coordonnées, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors G( (a·xA+b·xB)/(a+b) ; (a·yA+b·yB)/(a+b) ).

Exemple résolu

Soient A(1 ; 2) affecté du coefficient 2, et B(4 ; −1) affecté du coefficient 3 (a+b = 5 ≠ 0). Les coordonnées de G = bar{(A,2) ; (B,3)} sont :

xG = (2\times1 + 3\times4)/5 = 14/5 = 2,8 yG = (2\times2 + 3\times(-1))/5 = 1/5 = 0,2

Donc G(2,8 ; 0,2).

2. Barycentre de n points pondérés — isobarycentre

Définition (généralisation)

Soient A₁, A₂, …, Aₙ des points affectés des coefficients a₁, a₂, …, aₙ tels que a₁+a₂+⋯+aₙ ≠ 0. Le barycentre G de ce système est l'unique point tel que a₁GA₁⃗+a₂GA₂⃗+⋯+aₙGAₙ⃗ = 0⃗, et pour tout point O :

OG⃗ = (a₁OA₁⃗ + a₂OA₂⃗ + \dots + aₙOAₙ⃗) / (a₁ + a₂ + \dots + aₙ)

Isobarycentre

Lorsque tous les coefficients sont égaux (par exemple tous égaux à 1), G est appelé isobarycentre des points. L'isobarycentre de trois points A, B, C est le centre de gravité du triangle ABC, point d'intersection de ses trois médianes.

Exemple résolu

Soient A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(0 ; 6) affectés respectivement des coefficients 1, 1 et 2 (somme = 4 ≠ 0) :

xG = (1\times0 + 1\times4 + 2\times0)/4 = 4/4 = 1 yG = (1\times0 + 1\times0 + 2\times6)/4 = 12/4 = 3

Donc G(1 ; 3).

3. Propriétés du barycentre

Homogénéité

Le barycentre d'un système de points pondérés ne change pas si l'on multiplie tous les coefficients par un même réel non nul k : bar{(A,a) ; (B,b)} = bar{(A,ka) ; (B,kb)}.

Associativité (barycentre partiel)

Si, parmi les points pondérés, un sous-groupe de points a une somme de coefficients non nulle, on peut remplacer ce sous-groupe par son propre barycentre, affecté de la somme des coefficients du sous-groupe, sans changer le barycentre global. Ainsi, pour trois points A, B, C de coefficients a, b, c avec a+b≠0 :

bar{(A,a) ; (B,b) ; (C,c)} = bar{(H, a+b) ; (C,c)} où H = bar{(A,a) ; (B,b)}

Exemple résolu — retrouver l'isobarycentre par réduction

Reprenons A(0;0), B(4;0), C(0;6) avec coefficients 1, 1, 2. On pose H = bar{(A,1) ; (B,1)} = milieu de [AB] = (2 ; 0). Puisque 1+1=2, on a G = bar{(H,2) ; (C,2)} = milieu de [HC] (coefficients égaux) :

G = ( (2+0)/2 ; (0+6)/2 ) = (1 ; 3)

On retrouve exactement le résultat obtenu directement au paragraphe précédent.

4. Barycentre et alignement de points

Propriété

Le barycentre G de {(A,a) ; (B,b)} appartient toujours à la droite (AB). De plus :

si a et b sont de même signe, G appartient au segment [AB] ;
si a et b sont de signes contraires, G est à l'extérieur du segment [AB] ;
si a = b, G est le milieu de [AB].

Exemple résolu — la médiane et le centre de gravité

Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [BC] : I = bar{(B,1) ; (C,1)}. Par associativité, le centre de gravité G = bar{(A,1) ; (B,1) ; (C,1)} = bar{(A,1) ; (I,2)}. On en déduit OG⃗ = (OA⃗ + 2OI⃗)/3, d'où :

AG⃗ = OG⃗ - OA⃗ = (2/3)(OI⃗ - OA⃗) = (2/3) AI⃗

On retrouve la propriété classique : le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

5. Application : recherche d'ensembles de points

Technique de réduction vectorielle

Pour simplifier une expression du type aMA⃗ + bMB⃗ où M est un point variable, on distingue deux cas :

si a + b ≠ 0 : en notant G = bar{(A,a) ; (B,b)}, on a aMA⃗ + bMB⃗ = (a+b)MG⃗ ;
si a + b = 0 : la somme aMA⃗ + bMB⃗ est un vecteur constant, indépendant de M (égal à a·BA⃗).

Exemple résolu

Soient A(1 ; 0) et B(4 ; 0). On cherche l'ensemble des points M tels que ‖2MA⃗ + MB⃗‖ = 6. Comme 2+1=3≠0, on pose G = bar{(A,2) ; (B,1)} :

xG = (2\times1+1\times4)/3 = 2 yG = (2\times0+1\times0)/3 = 0 \to G(2 ; 0)

L'égalité devient ‖3MG⃗‖ = 6, soit MG = 2. L'ensemble cherché est donc le cercle de centre G(2 ; 0) et de rayon 2.

🧠 À retenir absolument

Le barycentre de (A,a),(B,b) existe et est unique ssi a+b≠0 ; formule OG⃗ = (aOA⃗+bOB⃗)/(a+b)
Isobarycentre = tous les coefficients égaux ; pour un triangle, c'est le centre de gravité
Homogénéité : multiplier tous les coefficients par k≠0 ne change pas G
Associativité : on peut remplacer un sous-groupe de points par son barycentre partiel
G ∈ [AB] si a et b sont de même signe ; G = milieu de [AB] si a=b
Si a+b≠0 : aMA⃗+bMB⃗ = (a+b)MG⃗. Si a+b=0 : c'est un vecteur constant

Calcul de coordonnées d'un barycentre

● Facile

Soient A(1 ; 2) et B(4 ; −1). Calculer les coordonnées du barycentre G des points pondérés (A,2) et (B,3).

✅ Correction

Somme des coefficients : 2+3 = 5 ≠ 0, le barycentre existe.

xG = (2\times1 + 3\times4)/5 = 14/5 = 2,8 yG = (2\times2 + 3\times(-1))/5 = 1/5 = 0,2

Donc G(2,8 ; 0,2).

Position du barycentre sur la droite (AB)

● Facile

Pour chaque cas, dire si G = bar{(A,a) ; (B,b)} appartient au segment [AB], et si G est le milieu de [AB] :

a = 3, b = 5
a = 2, b = −6
a = 4, b = 4

✅ Correction

a et b de même signe (tous deux positifs) : G ∈ [AB], mais a≠b donc G n'est pas le milieu.
a et b de signes contraires : G est à l'extérieur du segment [AB].
a et b de même signe et égaux : G ∈ [AB] et G est le milieu de [AB].

Barycentre de trois points par réduction

● Moyen

Soient A(2 ; 0), B(0 ; 4), C(6 ; 2) affectés des coefficients 1, 1 et 2. En utilisant l'associativité (barycentre partiel de A et B), déterminer les coordonnées de G = bar{(A,1) ; (B,1) ; (C,2)}.

✅ Correction

Soit H = bar{(A,1) ; (B,1)} = milieu de [AB] :

H = ( (2+0)/2 ; (0+4)/2 ) = (1 ; 2)

Comme 1+1 = 2, on a G = bar{(H,2) ; (C,2)}, qui est le milieu de [HC] (coefficients égaux) :

G = ( (1+6)/2 ; (2+2)/2 ) = (3,5 ; 2)

Vérification directe : OG⃗ = (1·A⃗+1·B⃗+2·C⃗)/4 = ((2,0)+(0,4)+(12,4))/4 = (14,8)/4 = (3,5 ; 2). ✅ Les deux méthodes coïncident.

Centre de gravité et médiane

● Moyen

ABC est un triangle. I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité (isobarycentre de A, B, C).

Justifier que G = bar{(A,1) ; (I,2)}.
En déduire que AG⃗ = (2/3) AI⃗.
Si A(0 ; 6), B(−2 ; 0), C(4 ; 0), calculer les coordonnées de I puis de G.

✅ Correction

I = bar{(B,1) ; (C,1)} (milieu). Comme 1+1=2≠0, par associativité, bar{(A,1) ; (B,1) ; (C,1)} = bar{(A,1) ; (I,2)}. Or le premier membre est G par définition. Donc G = bar{(A,1) ; (I,2)}.
OG⃗ = (OA⃗+2OI⃗)/3, donc AG⃗ = OG⃗−OA⃗ = (2OI⃗−2OA⃗)/3 = (2/3)(OI⃗−OA⃗) = (2/3) AI⃗.
I = ((−2+4)/2 ; (0+0)/2) = (1 ; 0). G = (OA⃗+2OI⃗)/3 = ((0,6)+2(1,0))/3 = ((0,6)+(2,0))/3 = (2,6)/3 = (2/3 ; 2).

Ensemble de points par réduction vectorielle

● Difficile

Soient A(1 ; 0) et B(4 ; 0).

Déterminer l'ensemble (E₁) des points M tels que ‖2MA⃗ + MB⃗‖ = 6.
Déterminer, en justifiant, la nature de l'ensemble (E₂) des points M tels que MA⃗ − MB⃗ = BA⃗ (coefficients 1 et −1, de somme nulle).

✅ Correction

2+1 = 3 ≠ 0. On pose G = bar{(A,2) ; (B,1)} : xG = (2×1+1×4)/3 = 2, yG = 0, donc G(2 ; 0). L'égalité devient ‖3MG⃗‖=6, soit MG=2. (E₁) est le cercle de centre G(2;0) et de rayon 2.
Ici la somme des coefficients (1 et −1) est nulle. Pour tout point M, MA⃗ − MB⃗ = BA⃗ est un vecteur constant, indépendant de M (on le vérifie par la relation de Chasles : MA⃗−MB⃗ = MA⃗+BM⃗ = BA⃗). L'égalité proposée est donc toujours vraie, quel que soit M : (E₂) est le plan tout entier (l'équation ne caractérise aucun point particulier).

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Le barycentre de (A,a) et (B,b) existe et est unique lorsque :

Question 2 / 10

Si a = b, alors le barycentre G de (A,a) et (B,b) est :

Question 3 / 10

L'isobarycentre de trois points A, B, C d'un triangle est :

Question 4 / 10

Multiplier tous les coefficients d'un système de points pondérés par un même réel k≠0 :

Question 5 / 10

Le barycentre G de {(A,a) ; (B,b)} avec a+b≠0 appartient toujours à :

Question 6 / 10

A(0 ; 0), B(6 ; 0). Le barycentre G de (A,1) et (B,2) a pour coordonnées :

Question 7 / 10

Si a et b sont de signes contraires, le barycentre G de (A,a) et (B,b) :

Question 8 / 10

Pour a+b≠0 et G = bar{(A,a) ; (B,b)}, on peut toujours écrire :

Question 9 / 10

Si a + b = 0 (par exemple a=1, b=−1), l'expression aMA⃗+bMB⃗ est :

Question 10 / 10

Dans un triangle ABC de centre de gravité G et I milieu de [BC], la relation correcte est :